72의 법칙 고찰

Rule of 72

72의 법칙은 원금이 2배가 되는 데 걸리는 수익율과 기간의 관계를 나타내는 것이다. 예를 들어 연평균 수익율이 8%이면 $72/8 = 9$년이 필요하다는 것이다. 이렇게 간단하게 구할 수 있다니. 이 법칙은 어떻게 만들어졌고, 얼마나 정확한 것일까? 간단하게 수학적으로 이야기 해보자.

Derivation

원금을 V, 수익율을 R, 기간을 N이라고 하자. 우리가 구하고 싶은 것은 복리 수익율로 두 배가 되는 것이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$V(1+R)^N = 2V$

V로 약분하고 로그를 취하면,

$N\ln{(1+R)} = \ln2$

테일러 급수를 활용하여 $\ln{(1+R)}$을 다항식으로 전개하면,

$\ln{(1+R)} = R - \frac{1}{2}R^2 + \frac{1}{3}R^3 - \frac{1}{4}R^4 + \cdots$

수익률 R이 1보다 작으면 고차항을 무시할 수 있는데, 여기서는 3차항 까지만 고려하자.

위의 두식을 결합하고 N을 제외한 항을 우측으로 이동시켜서 정리하면,

$N \sim \frac{\ln2}{R}\cdot\frac{1}{(1 - \frac{1}{2}R + \frac{1}{3}R^2)}$

위 식에서 R을 %단위로, $\ln2 \sim 0.693$으로 변경하면 다음과 같다.

$N \sim \frac{69.3}{R}\cdot\frac{1}{(1 - 50R + 33.3R^2)}$

수익율(R)	Exact(E)	근사식(A)	Rule72(B)	오차율((A-B)/A)
1%	69.66	69.66	72	3.4%
2%	35.0	35.0	36	2.8%
4%	17.67	17.67	18	1.9%
8%	9.01	9.01	9	0.1%
15%	4.96	4.96	4.8	3.1%
30%	2.64	2.63	2.4	8.6%
50%	1.71	1.66	1.44	13.4%

8%일 때가 가장 정확하고, 1%일 때는 3.4% (2.4년) 정도 차이가 나고, 15% 이상에서 오차율이 3%를 넘어가지만, 년수로 따지면 0.2년 수준이어서 무시할 만하다.

Why 72 selected?

왜 72가 선택되어 졌을까? 72법칙을 수식으로 표현하면 아래와 같다.

$N \approx \frac{72}{R}$

내가 생각하는 이유는 다음 두가지 이다.

1. 평균 정합성
2. 계산의 편리성

정합성

아래 테이블은 원금이 두 배가 되는 년수 x 수익율의 정확한 값이다. 수익율 또는 이자율이 1 ~ 20% 수준일 때 69.7 ~ 75.9까지 변한다.

수익율(%)	년수 x 수익율		수익율(%)	년수 x 수익율
1	69.7		11	73.0
2	70.0		12	73.4
3	70.3		13	73.7
4	70.7		14	74.0
5	71.0		15	74.3
6	71.4		16	74.6
7	71.7		17	75.0
8	72.0		18	75.3
9	72.4		19	75.6
10	72.7		20	75.9

편리성

69.7 ~ 75.9 사이의 값 중에 약수의 개수가 가장 많아서 쉽게 나누기가 가능한 수가 72이다.

$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$

위의 식처럼 소인수 분해가 되고 따라서 약수의 개수가 $(3+1) \times (2+1) = 12$이다. 즉 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 등으로 나누어 떨어진다. 5와 10은 나누어 떨어지지 않지만 쉽게 계산이 가능하고, 7일 때도 쉽게 가늠해 볼 수 있다.

어떤 것이든 기억하기 쉽고, 간단해야 살아 남는다.