자연 상수가 무리수라는 것 증명하기

Updated at 2021.5.25 Updated at 2019.12.29

자연상수의 무리수 증명

자연상수가 무엇인지와 관련한 성질은 자연상수와 지수함수에서 살펴 보았다. 이 글은 자연상수가 무리수임을 증명에 대한 것이다.

무리수임을 증명하는 것을 제곱근 2의 증명법과 같이 귀류법을 사용한다. 그리고 필요한 추가적인 지식은

• 함수의 근사법 중 하나인 테일러 급수와
• 무한 등비급수의 합에 대한 공식이다.

자 이제 시작해 보자.

오차 근사

지수함수를 테일러 전개를 하고 $x = 1$ 을 대입하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align}e = \lim_{n \to \infty} {X_n}\end{align}$$

여기서 $X_n$ 은 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{align}X_n = \sum_{k=0}^{n} {\frac{1}{k!}}\end{align}$$

$X_n$ 은 0부터 $n$ 까지의 합으로 $e$ 의 근사로 볼 수 있다. 그 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align}e - X_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} {\frac{1}{k!}}\end{align}$$

위 식의 우변항은 다음과 같은 부등식을 만족한다.

$$\begin{align}\sum_{k=n+1}^{\infty} {\frac{1}{k!}} \lt \frac{1}{(n+1)!} \cdot \left ( 1+\frac{1}{(n+1)} +\frac{1}{(n+1)^2} + \cdots \right)\end{align}$$

우변은 무한 등비급수의 합 공식을 활용하면 간략화할 수 있고, 최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align}e - X_n \lt \frac{1}{n\cdot n!}\end{align}$$

귀류법 사용

이제 $e$ 를 유리수라고 가정하자. 양의 두 정수 $p, q$ 에 대해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align}e = \frac{p}{q}\end{align}$$

그리고 식(5)의 $n = q$ 일 때의 부등식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

$$\begin{align}0 \lt e - X_q \lt \frac{1}{q\cdot q!}\end{align}$$

위의 식에 $q!$ 을 곱하면,

$$\begin{align}0 \lt q! \cdot (e - X_q) \lt \frac{1}{q}\end{align}$$

식(6)을 대입하여 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align}0 \lt p \cdot (q-1)! - q! \cdot X_q \lt \frac{1}{q}\end{align}$$

위의 식을 가만히 들여다 보자. $q$ 는 1보다 큰 양수이므로 가운데 있는 식은 0보다 크고 1보다 작을 수 밖에 없다. 그런데 가운데 수식은 정수일 수 밖에 없다 (양의 정수 빼기 양의 정수이므로). 모순이다. $e$ 가 유리수라는 가정이 잘못된 것이다.

따라서 $e$ 는 무리수이다.