Updated at 2021.5.25
Updated at 2019.12.29
자연상수의 무리수 증명
자연상수가 무엇인지와 관련한 성질은 자연상수와 지수함수에서 살펴 보았다. 이 글은 자연상수가 무리수임을 증명에 대한 것이다.
무리수임을 증명하는 것을 제곱근 2의 증명법과 같이 귀류법을 사용한다. 그리고 필요한 추가적인 지식은
- 함수의 근사법 중 하나인 테일러 급수와
- 무한 등비급수의 합에 대한 공식이다.
자 이제 시작해 보자.
오차 근사
지수함수를 테일러 전개를 하고 \(x = 1\) 을 대입하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\begin{align}e = \lim_{n \to \infty} {X_n}\end{align}
여기서 \(X_n\) 은 다음과 같이 정의된다.
\begin{align}X_n = \sum_{k=0}^{n} {\frac{1}{k!}}\end{align}
\(X_n\) 은 0부터 \(n\) 까지의 합으로 \(e\) 의 근사로 볼 수 있다. 그 오차는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{align}e - X_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} {\frac{1}{k!}}\end{align}
위 식의 우변항은 다음과 같은 부등식을 만족한다.
\begin{align}\sum_{k=n+1}^{\infty} {\frac{1}{k!}} \lt \frac{1}{(n+1)!} \cdot \left ( 1+\frac{1}{(n+1)} +\frac{1}{(n+1)^2} + \cdots \right)\end{align}
우변은 무한 등비급수의 합 공식을 활용하면 간략화할 수 있고, 최종적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\begin{align}e - X_n \lt \frac{1}{n\cdot n!}\end{align}
귀류법 사용
이제 \(e\) 를 유리수라고 가정하자. 양의 두 정수 \(p, q\) 에 대해 아래와 같이 나타낼 수 있다.
\begin{align}e = \frac{p}{q}\end{align}
그리고 식(5)의 \(n = q\) 일 때의 부등식을 다음과 같이 얻을 수 있다.
\begin{align}0 \lt e - X_q \lt \frac{1}{q\cdot q!}\end{align}
위의 식에 \(q!\) 을 곱하면,
\begin{align}0 \lt q! \cdot (e - X_q) \lt \frac{1}{q}\end{align}
식(6)을 대입하여 정리하면 다음과 같다.
\begin{align}0 \lt p \cdot (q-1)! - q! \cdot X_q \lt \frac{1}{q}\end{align}
위의 식을 가만히 들여다 보자. \(q\) 는 1보다 큰 양수이므로 가운데 있는 식은 0보다 크고 1보다 작을 수 밖에 없다. 그런데 가운데 수식은 정수일 수 밖에 없다 (양의 정수 빼기 양의 정수이므로). 모순이다. \(e\) 가 유리수라는 가정이 잘못된 것이다.
따라서 \(e\) 는 무리수이다.
