테일러 급수, Taylor Series

복잡한 일반 함수를 이해하기 쉽고 다루기 쉬운 다항함수들의 무한급수 형태로 나타낼 수 있는 방법이 있다. 이해를 위해서는 극한, 급수, 미적분의 개념을 선행으로 알아야 한다.

 

테일러 급수란?

 

먼저 테일러 급수가 뭔지 그리고 어떻게 적용되는지를 보자. 무한히 미분이 가능한 임의의 함수 f(x)에 대해 x = a에서의 근사식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

 

여기서 f^n(x)는 f(x)의 n차 도함수(미분 함수)이다. 좀더 이해를 위해서 급수를 풀어서 써보면 다음과 같다.

 

 

지수 함수에 적용해 보기

 

지수함수는 미분하면 자기 자신이다. 즉,

 

 

따라서 x = 0에서의 테일러 급수를 다음과 같이 구할 수 있다.

 

 

 

 

삼각 함수에 적용해 보기

 

sin(x)함수는 미분하면 cos(x)이고 cos(x)함수는 미분하면 -sin(x)이다. 즉 두 번 미분하면 마이너스가 붙은 자기 자신이고, 네 번 미분하면 자기 자신이다. 따라서 x = 0에서의 테일러 급수를 다음과 같이 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

테일러 급수 증명하기

 

적분을 활용하면 좀 더 이해가 쉽고 잉여항(Remainder Term)을 구하여 급수의 오차를 구할 수 있다. 미적분의 기본 관계에 의해 아래 수식을 알 수 있다.

 

 

f(x)를 구하기 위해 이항한 후에 부분 적분을 적용해 보자.

 

 

 

 

f(x)에 대한 2차 도함수에 대해서도 하기와 같은 수식(참고로 적분식에서 x는 상수이므로 미적분 기본 관계식와 동일)으로 전개할 수 있다.

 

 

위 식을 빨간색 항으로 정리하여 바로 위의 식에 대입하여 정리하면 하기와 같은 수식을 얻을 수 있다.

 

 

2차 도함수의 적분에 대해서도 이 과정을 계속 반복하면,

 

 

 

상기 식은 테일러 급수의 오차를 나타낸다. 현실에서는 무한대까지 급수를 전개하기 힘들기 때문에, 이 값이 어떻게 될지를 미리 살펴보는 것이 좋다.

 

테일러 급수 오차

 

적분의 평균값 정리를 활용하면, 하기 수식을 만족하는 c가 [a, x] 사이에 존재한다.

 

 

적분 상수를 u = x - t로 치환한 후 적분하여 정리하면

 

 

따라서 테일러 급수의 최대 오차는 f(x)의 (n + 1)차 미분의 최대값을 M (구간[a, x]에서)이라고 하면 최종적으로 아래 식과 같이 구할 수 있다.

 

 

상기 수식을 음미해보면, (n+1)차 미분이 0이라면 테일러 급수는 오차없이 정확하게 맞으며, x = a에 가까워 |x - a| < 1 이면 n이 증가할수록 오차가 줄어든다. 즉, x ~ a 근처에서는 임의의 함수를 테일러 급수로 전개해서 근사할 수 있다.

※ 이 글은 기존의 홈페이지가 폐쇄되어 여기로 옮기면서 재 작성한 것이다.