스털링 근사, Stirling Formula

계승이란?

 

계승(팩토리얼, Factorial)은 1부터 특정 자연수까지 연속되는 자연수를 모두 곱한 것으로 확률에서 경우의 수를 셀 때 나오는 것으로, 확률을 기본으로 하는 연구들에서 많이 나타난다.

 

 

그리고 0!은 1로 정의하고, 이 계승의 개념을 실수와 복소수까지 확장시킨 것이 감마함수이다. 임의의 자연수에 대해서 이 계산은 매우 간단하지만, 문제는 N이 조금만 커져도 이 값이 매우 크다는 것이다.

 

예를 들어 10! = 3,628,800이고, 100! = 9.33262154439441E+157 이다. 따라서 대부분 로그를 활용하여 그 값을 나타내고 근사하여 사용한다.

 

스털링 근사

 

1. 단순 버전 (Simple Version)

 

스털링(Stirling, 1730)이라는 사람이 유용한 근사 공식을 만들었는데, 그 아이디어와 근사 공식(Formula)은 꼭 알아둘만 하다.

 

 

m이 커지면 이 합(Sum)은 적분(Integral)으로 근사할 수 있다.

 

 

N >> 1 이면 최종적으로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

 

2. 좀 더 엄밀한 버전

 

감마함수를 이용하여 좀 더 정확한 근사 공식을 유도해 보자.

 

 

식(4)를 약간 변형하고 x = Ny로 치환하면,

 

 

식(5)의 적분은 쉽지 않지만, 라플라스 방법(Laplace's Method)을 이용하면 하기 식을 구할 수 있다.

 

 

따라서 최종 식은 다음과 같다.

 

 

계승과 스털링 근사 비교 그래프

 

식(7)은 N = 4 이상부터는 오차가 1% 이하로 매우 정확한데, 단순 버전인 식(3)은 N = 5 이하에서는 오차가 매우 크고, N = 10 일 때도 오차가 16% 수준이다. 하지만 N이 매우 크면 그 비가 1로 수렴함을 알 수 있다. 아래에 1부터 10,000 사이의 값을 넣어 보기 바랍니다.

 

N:

1부터 10,000사이의 자연수를 입력하세요.

 

 

※ 이 글은 기존의 홈페이지가 폐쇄되어 여기로 옮기면서 재 작성한 것이다.