하고 싶은 일을 하자

Updated at 2021.4.27 Fast Fourier Transform 이 글을 수학으로 배우는 파동의 법칙 이라는 책을 읽고 정리하였다. 이전 글에서 유도한 푸리에 변환 공식은 다음과 같다. \begin{align}G(f) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i 2\pi f t} dt}\end{align} 위 식을 이용하여 실제 음성의 파동을 푸리에 변환하기 위해서는 적분을 무한대로 구간에서 해야 하는데, 현실에서는 그렇게 할 수 없다. 일정 시간 간격으로 유한개의 파동값을 읽어서 사용할 수 밖에 없다. 불연속 푸리에 변환 그 일정 시간 간격을 \(\tau\) 라고 하고, 읽어낸 값의 개수를 \(N\) 이라고 하면, 위의 적분식은 주파수 \(f= \frac{n}{\tau..

수학 2021. 6. 6. 14:03

Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18 이항분포와 정규분포 앞글의 동전 던지기 놀이를 통해 이항분포에 대해 알아보았다. 시행횟수가 많아지면 이항분포가 정규분포와 같아지는 것을 수학적으로 엄밀하게 유도해 보자. 이번에 대수의 성질에 대해 간단히 생각할 기회를 갖고, 통계 역학의 기본을 다져보자. 앞서 동전 던지기를 많이 반복하면 정규분포로 근사할 수 있다고 했는데, 진짜 그럴까? 남이나 책에서 그렇다고 해서 무조건 받아들이면 안된다. 정규분포에 대해서 배우긴 했지만 왜 그런 복잡한 수식이 나왔는지에 대해서는 그냥 그런가 했다. 1733년에 아브라함 드무아브르가 시행회수(N)가 클 때의 이항분포의 근사치를 계산하기 위해 유도하였다고..

수학 2021. 6. 6. 13:35

Updated at 2021.4.29 정사영과 직교 이 글을 수학으로 배우는 파동의 법칙 이라는 책을 읽고 정리하였다. 필요한 사전 지식 벡터 직교좌표계 내적이란? 두 \(n\) 차원 벡터 \(\vec{A} = (A_1, A_2, \cdots, A_n)\), \(\vec{B} = (B_1, B_2, \cdots, B_n)\) 에 대하여 내적의 정의는 다음과 같다. \begin{align}\vec{A} \cdot \vec{B} = A_1 B_1 + A_2 B_2 + \cdots + A_n B_n\end{align} 2차원 벡터들에 대해 계산하 보면 두 벡터가 직각으로 교차하면 내적은 언제나 0이 된다. 직각이면 내적이 0이 되니 직각의 정의를 바꾸면 어떨까? ❝직각의 새로운 정의: 내적이 영인 두 벡터는 ..

수학 2021. 6. 6. 12:10

Updated at 2021.5.25 Updated at 2019.12.29 자연상수의 무리수 증명 자연상수가 무엇인지와 관련한 성질은 자연상수와 지수함수에서 살펴 보았다. 이 글은 자연상수가 무리수임을 증명에 대한 것이다. 무리수임을 증명하는 것을 제곱근 2의 증명법과 같이 귀류법을 사용한다. 그리고 필요한 추가적인 지식은 함수의 근사법 중 하나인 테일러 급수와 무한 등비급수의 합에 대한 공식이다. 자 이제 시작해 보자. 오차 근사 지수함수를 테일러 전개를 하고 \(x = 1\) 을 대입하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. \begin{align}e = \lim_{n \to \infty} {X_n}\end{align} 여기서 \(X_n\) 은 다음과 같이 정의된다. \begin{align}X_n =..

수학 2021. 6. 6. 12:02

Updated at 2021.5.25 Updated at 2019.12.11 수학적 증명 방법 (귀류법 및 귀납법) 수학에서 증명(Proof)이란 어떤 명제가 참이라는 것을 보여주는 것이다. 가장 기본적인 증명은 주어진 명제 또는 사실들의 다른 표현을 찾는 것이다. 이를 직접 증명(Direct Proof) 또는 연역(演繹)적 증명(Deductive Proof)이라 부른다. 이것은 별 재미도 없고 흥미롭지도 않다. 수학 시간에 맨처음 접했을 때 감탄사를 연발했던 증명법이 두가지 있었다. 귀류법 수학적 귀납법 Proof by contradiction Proof by mathematical induction 歸謬: 오류로 귀착된다 歸納: 납득하게 된다 예) 제곱근 2 예) 홀수 합의 공식 증명 우리말 용어가 ..

수학 2021. 6. 4. 18:30

Rule of 72 72의 법칙은 원금이 2배가 되는 데 걸리는 수익율과 기간의 관계를 나타내는 것이다. 예를 들어 연평균 수익율이 8%이면 72/8=972/8 = 972/8=9년이 필요하다는 것이다. 이렇게 간단하게 구할 수 있다니. 이 법칙은 어떻게 만들어졌고, 얼마나 정확한 것일까? 간단하게 수학적으로 이야기 해보자. Derivation 원금을 V, 수익율을 R, 기간을 N이라고 하자. 우리가 구하고 싶은 것은 복리 수익율로 두 배가 되는 것이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다. V(1+R)N=2VV(1+R)^N = 2V V(1+R)N=2V V로 약분하고 로그를 취하면, Nln⁡(1+R)=ln⁡2N\ln{(1+R)} = \ln2 Nln(1+R)=ln2 테일러 급수를 활용하여 ln⁡(1+R)\ln{(1..

수학 2021. 2. 10. 14:23

Stock Evaluation 회사의 가치를 어떻게 평가하여 주식의 가격과 비교할 것인가? 여러가지 방법이 있을 수 있지만, 여기서는 다음과 같은 아이디어로 해보기로 하자. 경제학에서 실제로 쓰이는지는 모르겠다. 은행 이자로 벌어들일 수익보다 투자할 회사의 이익이 많은지 적은지? Derivation 은행이자 수익 자산가가 V라는 금액을 은행에 넣어 두었을 때 금리 I를 받아 N년 뒤에 벌어들일 총 금액(Q) Q=V{(1+I)N−1}Q = V\{(1+I)^N - 1\} Q=V{(1+I)N−1} 투자 수익 투자할 회사가 N년 동안 벌어 들일 예상 수익 현재 매출: R 향후 N년간 연평균 예상 성장율: G 향후 N년간 연평균 예상 마진율: M Q=R×M{1+(1+G)+(1+G)2+⋯+(1+G)N−1}Q = R..

수학 2021. 2. 9. 16:14

복잡한 일반 함수를 이해하기 쉽고 다루기 쉬운 다항함수들의 무한급수 형태로 나타낼 수 있는 방법이 있다. 이해를 위해서는 극한, 급수, 미적분의 개념을 선행으로 알아야 한다. 테일러 급수란? 먼저 테일러 급수가 뭔지 그리고 어떻게 적용되는지를 보자. 무한히 미분이 가능한 임의의 함수 f(x)에 대해 x = a에서의 근사식을 아래와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 f^n(x)는 f(x)의 n차 도함수(미분 함수)이다. 좀더 이해를 위해서 급수를 풀어서 써보면 다음과 같다. 지수 함수에 적용해 보기 지수함수는 미분하면 자기 자신이다. 즉, 따라서 x = 0에서의 테일러 급수를 다음과 같이 구할 수 있다. Start Animation 삼각 함수에 적용해 보기 sin(x)함수는 미분하면 cos(x)이고 cos(x..

수학 2020. 3. 29. 10:40