Updated at 2021.5.7
흑체 복사
이 글은 수학으로 배우는 양자역학의 법칙을 읽고 작성한 것이다. 내용을 쉽게 잘 풀어 쓴 책이니 일독을 권한다.
흑체 복사는 쇠로 만든 진공 상태의 상자를 가열했을 때 상자안에 어떤 빛이 충만한지 알아보는 실험이다. 빛을 분석하는 방법은 스펙트럼을 조사하는 것이다. 스펙트럼이란 프리즘이나 분광기를 활용하여 진동수(\(\nu = f\) 또는 주파수, 1초에 몇번 진동하는가?)에 따른 빛의 세기(에너지)를 나타내는 것이다.
위의 그래프에서의 실험결과를 설명할 이론이 필요하였다.
❝의문: 온도에 따라 왜 이런 모양의 스펙트럼이 되는 걸까?
레일리-진스(R-J)의 이론
기존에 열에 관한 현상은 모두 고전이론을 통해 설명이 가능했으므로, 고전이론을 통해 다음과 같은 공식을 도출했다.
\begin{align}U(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} kT d\nu\end{align}
식 유도 아이디어
- 빛이 파동이므로 진동수가 \(\nu\) 인 파동의 밀도는 \(\frac{8\pi \nu^2}{c^3}\) (정상파의 파동 밀도),
- 그 파동의 에너지는 볼쯔만 에너지 등분배 법칙에 따라 \(kT\) 이다.
낮은 진동수에서를 제외하고는 실험 결과와 불일치했다 (위의 그래프 참고).
빈의 공식
빈(Wien)은 흑체의 온도에 따라 스펙트럼에서 최대 에너지를 갖는 진동수가 낮아지는 것에 착안하여 에너지가 온도 뿐만 아니라 주파수의 함수라고 수식을 수정하였다.
평균 에너지(\(\overline E\))
| 에너지 등분배 법칙 | 빈의 공식 |
|---|---|
| \(\overline E = kT\) | \(\overline E = \frac{k\beta \nu}{e^{\beta\nu /T}}\) |
식 유도 아이디어 (추정)
- 볼쯔만 분포 법칙에서 에너지(\(E\))의 확률 분포가 \(f(E) = \frac{1}{kT} e^{-E /kT}\) 같이 주어 진다. 에너지가 온도 \(T\) 의 함수이기 때문이다.
- 에너지가 최대인 주파수가 온도의 함수 (\(\nu \sim T\)) 라면, 주파수의 확률 분포도 \(f(\nu) = \frac{\beta\nu}{T} e^{-\beta\nu /T}\) 로 나타낼 수 있지 않을까? (여기서 \(\beta\) 는 적절한 상수)
\begin{align}\overline E = kT \times \frac{\beta \nu}{T}e^{-\beta\nu /T} = \frac{k\beta \nu}{e^{\beta\nu /T}}\end{align}
따라서 최종적인 수식은 다음과 같다.
\begin{align}U(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \frac{k\beta \nu}{e^{\beta\nu/T}} d\nu\end{align}
위의 그래프를 보면 빈의 공식은 높은 진동수에서는 매우 잘 맞고, 낮은 진동수에서도 거의(?) 일치한다.
플랑크
실험과 매우 잘 일치하는 빈의 공식을 수정하여 낮은 주파수에서도 정확히 예측할 수 있게 할 수 있지 않을까? 플랑크가 그 일을 해냈다. 플랑크는 빈의 공식을 정말 조금 수정하여 실험 결과를 모든 진동수 영역에서 잘 설명하는 수식을 완성하였다.
평균 에너지(\(\overline E\))
| 빈의 공식 | 플랑크의 식 |
|---|---|
| \(\overline E = \frac{k\beta \nu}{e^{\beta\nu /T}}\) | \(\overline E = \frac{k\beta \nu}{e^{\beta\nu /T}\red{ - 1}}\) |
위 표의 플랑크의 식은 진동수 \(\nu\) 가 크면 \(e^{\beta\nu /T}\) 가 1보다 매우 크므로 빈의 공식과 동일해진다.
저주파수에서는 어떻게 해서 잘 맞을까? 지수함수를 테일러 급수로 전개하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\begin{align}e^{\beta\nu /T} = 1 + \frac{\beta\nu}{T} + \frac{1}{2!}(\frac{\beta\nu}{T})^2 + \cdots\end{align}
\(\nu\) 가 매우 작을 때는
\begin{align}e^{\beta\nu /T} \sim 1 + \frac{\beta\nu}{T}\end{align}
이므로 이 수식을 플랑크의 식에 넣으면 아래와 같다. 정확히 레일리-진스에서 사용된 평균에너지와 같아진다.
\begin{align}\overline E = \frac{k\beta \nu}{e^{\beta\nu /T} - 1} = \frac{k\beta \nu}{1 + \frac{\beta\nu}{T} - 1} = kT\end{align}
플랑크는 이 식에서 \(k\) (볼쯔만 상수)와 \(\beta\) (빈의 공식의 상수)를 결합하여 하나의 상수 \(h\) (플랑크 상수)를 만들어 수식을 단순화 했다.
\begin{align}\red{\overline E = \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}}\end{align}
\begin{align}h=k\beta = 6.63\times 10^{-34}\space (J/s)\end{align}
최종적으로 플랑크 공식을 활용한 흑체복사 스펙트럼 식은 다음과 같다.
\begin{align}U(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \frac{h \nu}{e^{h\nu/kT} - 1} d\nu\end{align}
플랑크 공식의 의미
위의 수식을 빛의 양자 개념의 시발점에서 이야기 하는 이유가 뭘까? 지금까지 그런 이야기가 하나도 없이 아이디어 및 수식 전개가 되었는데...
이제 그 이야기를 해보자. 플랑크는 위 수식을 완성했지만, 이 수식의 의미를 이해하지 못했다. 도대체 빛의 에너지가 어떻길래 평균 에너지를 식(7)과 같이 나타내면 흑체복사 스펙트럼을 정확히 예측하는 것일까?
플랑크는 에너지가 아래와 같다면 평균 에너지를 식(7)으로 나타낼 수 있음을 찾아 냈다.
\begin{align}E = nh\nu \space (n=0,1,2,\cdots)\end{align}
❝의미: 에너지의 값은 플랑크 상수 \(h\) 와 진동수 \(\nu\) 를 곱한 것의 정수배로만 존재할 수 있다.
고전 역학에 따르면 파동의 에너지는 진폭의 제곱에 비례하기 때문에, 위의 결론이 사실이라면 빛의 파동은 진폭이 연속인 값을 취할 수 없다라는 것이다.
플랑크 공식 유도
개별 에너지의 값이 주어지면 그 에너지의 분포 확률은 볼쯔만 분배 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.
\begin{align}f(E) = f(nh\nu) = \frac{1}{kT} e^{-nh\nu /kT}\end{align}
따라서 평균 에너지는
\begin{align}\overline E = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} nh\nu\times f(nh\nu)}{\sum_{n=0}^{\infty} f(nh\nu)}\end{align}
이고 풀어서 써보면 다음과 같다.
\begin{align}\overline E = h\nu \frac{e^{\frac{-h\nu}{kT}}+ 2e^{\frac{-2h\nu}{kT}} +\cdots }{e^0 + e^{\frac{-h\nu}{kT}} + e^{\frac{-2h\nu}{kT}} + \cdots}\end{align}
위의 수식에서 \(e^{\frac{-h\nu}{kT}} = x\) 라고 하면
\begin{align}\overline E = h\nu \frac{x+ 2x^2 + 3x^3 +\cdots }{1 + x + x^2 + \cdots}\end{align}
무한 급수의 합 공식을 이용하면, 위은 수식은 아래와 같이 단순화 할 수 있다.
\begin{align}\overline E = h\nu \frac{x/(1-x)^2}{1/(1-x)} = h\nu \frac{x}{1-x}\end{align}
\(x\) 를 치환하여 정리하면 최종 수식을 얻을 수 있다.
\begin{align}\overline E = \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}\end{align}
결론적으로 에너지가 불연속적인 \(h\nu\) 의 정수배의 값만 취할 수 있다고 가정하여 유도한 식이 실험 결과와 정확히 일치한다는 것이다.
