Updated at 2021.5.5
Standing Waves
파동을 수학적으로 표현하는 방법에 대해 알아 보았으니, 이제 실제 문제에 적용하여 생각해 보자. 끈의 길이가 \(L\) 로 유한하고, 양 끝이 고정되어 있는 파동인 정상파에 대해 알아보자.
미분 방정식의 해
1차원 파동에 대해 생각해 보자. 풀어야 할 미분 방정식은
\begin{align}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\end{align}
이고, 만족시켜야 할 조건은 \(u=0 \text{ at } x= 0 \text{ and } L\) 이다. 변수 분리법을 이용하여 해를 \(u(x,t) = X(x)T(t)\) 같이 가정하고 위의 미분 방정식에 대입해 정리하면
\begin{align}\frac{1}{T}\frac{d^2 T}{dt^2} = \frac{v^2}{X} \frac{d^2 X}{dx^2}\end{align}
위의 좌변은 변수 \(t\) 만의 함수이고 우변은 \(x\) 만의 함수이므로 위의 수식을 만족하려면 양변 모두 상수일 수 밖에 없다. 따라서 그 값을 \(-\omega^2\) 이라고 하자.
\begin{align}\frac{1}{T}\frac{d^2 T}{dt^2} = -\omega^2\end{align}
\begin{align}\frac{v^2}{X} \frac{d^2 X}{dx^2} = -\omega^2\end{align}
위 두 수식의 해는 각각 다음과 같다. 지수함수의 확장 참고
\begin{align}T \sim e^{\pm i\omega t}\end{align}
\begin{align}X \sim e^{\pm i\omega x/v}\end{align}
따라서 해는
\begin{align}u = X(x)T(t) \sim Ae^{\pm i\omega t}e^{\pm i\omega x/v}\end{align}
이고, 여기서 \(A\) 는 임의의 상수(복소수)이다.
\(x\) 에 대한 경계 조건을 만족하는 식을 찾기 위해 \(x\) 만의 수식을 뽑아보자.
\begin{align}e^{\pm i\omega x/v} = \cos (\omega x/v) \pm i\sin (\omega x/v)\end{align}
- \(x=0\) 일때 \(u=0\) 이므로, \(\cos\) 항은 없어야 한다.
- \(x=L\) 일때 \(u=0\) 이므로, \(\omega L/v = n\pi\) 여야 한다. (여기서 \(n=1,2,3,\cdots\))
따라서 최종 정리하면 해는 무한개로 많고 그 중 \(n\) 차 파동은 다음과 같다.
\begin{align}\red{u_n = (A_n \sin \omega_n t + B_n \cos \omega_n t)\sin \frac{n\pi x}{L}}\end{align}
여기서 \(\omega_n =n\pi v/L\) 이고 \(A_n, B_n\) 은 상수 이다.
정상파 고찰
위의 수식을 자세히 살펴 보면, 시간에 상관 없이 위치에 대해서는 항상 같은 형태(\(\sin \frac{n\pi x}{L}\))를 띈다. 파장(\(\lambda\)) 은 다음과 같이 구할 수 있다.
\begin{align}\frac{n\pi}{L} = \frac{2\pi}{\lambda}\end{align}
파장에 대한 수식으로 정리하면, 길이가 \(L\) 인 끈의 정상파에서 파장(\(\lambda\)) 은 \(n\) 이 증가함에 따라 반비례하여 감소함을 알 수 있다.
\begin{align}\lambda = \frac{2L}{n}\end{align}
정상파의 개수
길이가 \(L\) 인 끈에서 파장이 \(\lambda\) 와 \(\lambda + d\lambda\) 사이인 정상파는 몇 개나 있을까?
- \(L \sim \lambda\) 이면 있을 수도 있고 없을 수도 있다. 예를 들어 길이가 \(1m\) 이 끈에서는 \(\lambda = 0.5, 0.25, 0.125, \cdots\) 에서만 1개씩 존재한다. 그 이외의 파장은 존재할 수 없다.
- 하지만 \(L \gg \lambda\) 이면 파장이 \(\lambda\) 와 \(\lambda + d\lambda\) 인 정상파가 많이 존재 할 수 있다. 따라서 \(n\) 을 \(\lambda\) 에 대한 아래와 같은 연속함수로 생각할 수 있다.
\begin{align}n(\lambda) = \frac{2L}{\lambda}\end{align}
위 수식을 미분 해서 파장이 \(\lambda\) 와 \(\lambda + d\lambda\) 사이인 정상파 개수를 구할 수 있다. 마이너스는 파장이 증가함에 따라 개수가 줄어 든다는 뜻이다.
\begin{align}\red{dn = -\frac{2L}{\lambda^2}d\lambda}\end{align}
3차원으로 확장
위의 수식을 3차원(\(x, y, z\)) 평면파의 경우로 확장해 보자. 풀어야 할 미분 방정식은
\begin{align}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\end{align}
미분 방정식의 해를 간단히 쓰면 다음과 같다.
\begin{align}u_n = C_n e^{\pm i\omega_n t}\sin \frac{n_x\pi x}{L}\sin \frac{n_y\pi y}{L}\sin \frac{n_z\pi z}{L}\end{align}
여기서
\begin{align}\omega_n = \frac{n\pi v}{L} =\frac{\pi v}{L}\sqrt{n_x^2 +n_y^2+n_z^2}\end{align}
정상파의 개수
\(L \gg \lambda\) 인 상황에서 무작위 방향의 3차원 정상파인 경우의 파장이 \(\lambda\) 와 \(\lambda + d\lambda\) 인 파동의 개수는 얼마일까? 다음과 같이 개념적으로 유도해 보자. (엄밀한 증명은 아님)
- 특정 방향(\(r\))을 정하면 그 방향에서 1차원의 수식(13)과 같은 \(dn_r = -\frac{2L}{\lambda^2}d\lambda\) 일 것이다.
- 식(16)처럼 \(n\) 은 3차원으로 \(\vec n = n_x \vec i + n_y\vec j + n_z \vec k\) 와 같이 생각할 수 있다.
- 따라서 3차원 무작위 방향을 생각하면 공간상에 정상파가 균일하게 분포하기 때문에 \(dn = \pi n_r^2 dn_r\) 로 생각할 수 있다. (지름이 \(n_r\) 인 구)
\begin{align}dn = \pi n_r^2 dn_r = \pi (\frac{2L}{\lambda})^2 \times (-\frac{2L}{\lambda^2}d\lambda)\end{align}
정리하면,
\begin{align}dn = -\frac{8\pi L^3}{\lambda^4}d\lambda = -\frac{8\pi V}{\lambda^4}d\lambda\end{align}
위의 수식에서 \(L^3 = V\) 으로 부피이다. 파장(\(\lambda\))을 진동수(\(\nu\))로 바꾸고 단위 부피 당 정상파의 개수로 식을 변환하면, 즉 정상파의 밀도는
\begin{align}\red{\frac{dn}{V} = \frac{8\pi \nu}{v^3} d\nu}\end{align}
위의 수식에서 \(v\) 는 파의 진행 속도이다.
