단순 조화 진동에 대해

Updated at 2021.5.5

Simple Harmonic Motion

감쇠가 없는 스프링에 의한 힘 이외에 다른 힘을 받은 않는 1차원 진동을 생각해 보자. 단진동 또는 자유진동(Free Oscillation)이라고도 한다.

단순 조화 진동

운동 방정식

스프링은 훅의 법칙에 의해 늘어난 길이의 반대 방향으로 늘어난 길이에 비례하여 작용하기 때문에 이 시스템의 운동 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align}F = m\frac{d^2x}{dt^2} = -\kappa x\end{align}$$

여기서 $m$ 은 스프링에 매달린 물체의 질량, $\kappa$ 는 스프링 상수이다.

위 식은 아래와 같은 2차 미분 방정식으로 정리가 된다.

$$\begin{align}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{\kappa}{m} x = 0\end{align}$$

위 수식의 일반해는 두번 미분한 것과 자신을 더해서 영이 될 수 있는 함수는 삼각함수이므로 아래와 같다.

$$\begin{align}x(t) = C_1 \sin(\kappa/m)^{1/2}t + C_2 \cos(\kappa/m)^{1/2}t\end{align}$$

초기 조건이 $t = 0$ 일때 $x=0$ 이고 진폭이 $A$ 라고 하면,

$$\begin{align}x(t) = A\sin(\kappa/m)^{1/2}t\end{align}$$

위의 진동의 주파수를 $\nu$, 각속도를 $\omega$ 라고 하면 다음과 같은 중요한 관계식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align}\red{\sqrt{\frac{\kappa}{m}} = 2\pi\nu = \omega}\end{align}$$

진동 에너지

운동 에너지는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align}\begin{split}E_k &= \frac{1}{2}mv^2 \\&= \frac{1}{2}m(A\omega \cos\omega t)^2 \\ &=\frac{1}{2}\kappa A^2 \cos^2 (\omega t) \end{split}\end{align}$$

위치 에너지는 스프링이 늘어나지 않는 상태, 즉 $x=0$ 일 때의 위치를 기준으로 계산할 수 있다.

$$\begin{align}\begin{split}E_u &= \frac{1}{2}mx^2 \\&= \frac{1}{2}m(A\sin\omega t)^2 \\ &=\frac{1}{2}\kappa A^2 \sin^2 (\omega t) \end{split}\end{align}$$

따라서 총 에너지는 아래와 같이 간단히 나타난다. 진동 에너지는 스프링 상수 및 진폭의 제곱에 비례한다.

$$\begin{align}E = E_k + E_u = \red{\frac{1}{2}\kappa A^2}\end{align}$$