Updated at 2021.5.5
Wave Motion
단순 조화 진동은 우리가 아는 일반적인 파동(Wave Motion)과 달리 에너지의 전파가 일어나지 않는다. 줄(String)이 진동할 때 줄의 방향으로 전파가 일어난다.
파동의 수학적 표현
가장 단순한 1차원 파동을 생각해 보자. 줄의 수직 방향의 변위를 \(u\) 라고 하면, 아래와 같이 줄의 변위는 위치와 시간의 함수이다.
\begin{align}u = f(x, t)\end{align}
파동이 \(v\) 의 속도로 이동한다면, 위치와 시간을 다음과 같이 결합하여 단순화 시킬 수 있다.
\begin{align}u = f(x, t) = f(x-vt)\end{align}
이제 시간 \(t=0\) 인 순간에 파동을 관찰했다고 해보자. 그때 진폭(최대 변위)이 \(A\) 이고 \(x=0\) 일 때의 변위가 영이고, 한 주기의 길이인 파장(Wavelength)이 \(\lambda\) 라고 하면, 변위는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{align}u = A \sin (2\pi \frac{x}{\lambda})\end{align}
파수(Wave Number) \(\sigma = 1/\lambda\) 로 정의할 수 있으므로,
\begin{align}u = A \sin 2\pi\sigma x\end{align}
파동의 이동 속도 \(v\) 는 한 주기(\(\tau\)) 동안에 파의 최고점이 이동하는 거리이므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
\begin{align}v = \frac{\lambda}{\tau} = \lambda \nu = \frac{\nu}{\sigma}\end{align}
따라서 최종적으로 파동은 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다. 즉 한 방향(여기서는 \(x\))으로 진행하는 파동은 다음 수식을 만족 해야 한다.
\begin{align}\red{u = A \sin 2\pi (\sigma x-\nu t)}\end{align}
- \(A\) : 진폭(최대변위, Maximum Displacement)
- \(\sigma = 1/\lambda\) : 파수(Wave Number), 단위 길이당 진동한 회수
- \(\nu = 1/\tau\) : 진동수(Frequency), 단위 시간당 진동한 회수
미분 방정식
위의 수식은 사인함수로 되어 있기 때문에, 두 번 미분하면 사인함수가 다시 나타난다. 따라서 \(x\) 에 대해서 두 번 미분한 것과 \(t\) 에 대해서 두 번 미분한 것을 비교하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.
\begin{align}\nu^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\end{align}
파동의 속도 \(v = \nu / \sigma\) 이므로 정리하면 다음 미분 방정식을 최종적으로 구할 수 있다.
\begin{align}\red{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}\end{align}
위 수식을 일차원 파동 방정식이라고 한다.
3차원으로 확장 (평면파)
1차원 파동을 3차원으로 확장하기 위해서는 구면파와 평면파에 대해서 알아야 한다.
- 구면파(Spherical Wave): 동일 시간에 도달하는 면인
동일위상면이 구면이고 점파원(Point Source)에서 발생한다. - 평면파(Plane Wave): 동일위상면이 평면임. 점파원에서 충분히 먼 거리에서는 평면파로 봐도 된다. 또는 렌즈를 이용하면 가까운 거리에서 평면파를 만들 수 있다. 면파원(Plane Source)에서 발생한다.
- 원통면파(Cylindrical Wave): 선파원(Line Source)에서 발생한다.
여기서는 평면파에 대해 다뤄보자. 우선 3차원 파동이므로 변위는 공간좌표 \(\vec r = (x, y, z)\) 와 시간 \(t\) 의 함수로 나타낼 수 있다.
\begin{align}u = f(x, y, z, t) = f(\vec r, t)\end{align}
동일위상면의 수직인 방향은 \(\vec k\) 벡터라고 하면, 파의 이동 방향은 \(\vec k\) 벡터 방향의 1차원 파동으로 생각할 수 있다.
\begin{align}u = f(\vec r, t) = f(\vec k \cdot \vec r - vt)\end{align}
여기서 \(v\) 는 \(\vec k\) 방향으로의 파의 이동 속도이다.
\begin{align}u = A \sin 2\pi (\sigma \vec k \cdot \vec r -\nu t)\end{align}
만약 \(\vec k\) 가 \(x\) 방향과 일치한다고 하면 위의 1차원 수식과 같아야 하므로, \(\sigma \vec k = \vec \sigma\) 라고 하고 파수 벡터라고 하자.
\begin{align}u = A \sin 2\pi (\vec \sigma \cdot \vec r -\nu t)\end{align}
여기서 \(\vec \sigma = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)\) 로 각각 \(x, y, z\) 방향으로의 파수(단위 길이당 진동한 회수)이다. 위의 수식을 풀어서 쓰면 다음과 같다.
\begin{align}u = A \sin 2\pi (\sigma_x x + \sigma_y y +\sigma_zz -\nu t)\end{align}
미분 방정식
위의 수식은 아래의 3차원 파동 방정식(데카르트 좌표계)을 만족한다.
\begin{align}\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\end{align}
여기서 \(v^2 = \nu^2/\sigma^2 = \nu^2/(\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2)\) 이다.
