기체 분자 운동 에너지에 대해

Updated at 2021.5.4

Kinetic Molecular Theory

개별 분자 운동($m, v$)과 거시적인 성질($p, V, T$)을 연결하는 이론으로 다음과 같은 가정에 기반한다.

1. 기체 입자(분자) 자체의 부피는 입자들간의 거리에 비해 작아 무시할 수 있다.
2. 기체 입자들은 끊임없이 무질서하게 움직인다. 즉 $x, y, z$ 방향에 무관하다.
3. 기체 입자들은 충돌할 때를 제외하고는 그들 사이에 아무런 힘이 작용하지 않는다.
4. 입자와 벽면과의 충돌은 완전 탄성 충돌이다. 즉, 충돌에 의해 에너지가 손실 되지 않는다.

기체 입자 1 개의 운동

위의 두번째 가정에 의해 $x, y, z$ 방향에 대해 동일하므로, $x$ 방향의 속력과 $x$ 방향에 수평인 벽면만 생각하여 계산해 보자.

벽과의 충격 전후의 운동량의 변화($m$ 은 질량, $v_x$ 는 $x$ 방향 속도)은 아래와 같다.

$$\begin{align}\Delta p_x = mv_x - (-mv_x) = 2mv_x\end{align}$$

입자 하나가 한번 충돌하는 데 걸리는 시간($L$ 은 $x$ 방향 벽면 사이의 거리)은

$$\begin{align}\Delta t = 2L/v_x\end{align}$$

이므로 단위 시간 당 벽에 전달하는 운동량 즉 힘은 최종적으로 아래와 같음을 알 수 있다.

$$\begin{align}F_x = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{2L/v_x} = \frac{mv_x^2}{L}\end{align}$$

벽면에 전달되는 압력

한쪽 벽면의 면적을 $A = L^2$ 라고 하고, 전체 입자의 개수를 $N$ 이라고 하면,

$$\begin{align}\begin{split}P &= \frac{F_x}{A} = \frac{\sum_{i=1}^{N} mv_{x,i}^2/L}{L^2} \\ &=\frac{m}{L^3}\sum_{i=1}^{N}v_{x,i}^2 = \frac{mN \overline{v^2_x}}{L^3}\end{split}\end{align}$$

이고, 위의 식에서 $\overline{v^2_x}$ 는 $N$ 개 입자의 $x$ 방향 속도의 제곱의 평균이다. 따라서 입자의 속력은 다음의 관계가 성립한다.

$$\begin{align}v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\end{align}$$

평균 속력의 경우 세 방향 성분이 같으므로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align}\overline{v^2} = \overline{3v_x^2}\end{align}$$

따라서 압력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\begin{align}P = \frac{mN \overline{v^2}}{3L^3}\end{align}$$

위의 수식을 분자 개별에 대한 변수를 기체 입자 집합, 즉 몰 (mole)관련 변수로 변환하자

• 1몰의 기체는 아보가드로 수($N_A$) 만큼의 기체가 있으므로, $N$ 개의 기체는 $n = N/N_A$ 몰이다.
• 1몰의 기체의 질량을 $M$ (몰질량, molar mass g/mol)이라고 하면 $m = M/N_A$ 이고,
• $L^3 = V$ (부피) 이므로

위의 수식은 최종적으로 다음과 같다.

$$\begin{align}\red{PV = \frac{1}{3}n M\overline{v^2}}\end{align}$$

기체 평균 속력

이상 기체의 압력과 부피에 대한 이상기체 방정식은 아래와 같다.

$$\begin{align}PV = nRT\end{align}$$

따라서 위의 두 식을 결합하고 평균 속도에 대해 정리하면

이므로 위의 식과 결합하면,

$$\begin{align}\overline{v^2}= \frac{3RT}{M}\end{align}$$

이고, 최종적으로 $v_{rms}$ (root-mean square speed, 근평균 제곱 속력)은 아래과 같다.

$$\begin{align}v_{rms} = \sqrt{\overline{v^2}} = \red{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}\end{align}$$

위의 수식은 분자의 속력을 거시 상태 지표, 즉 온도로 나타낸 매우 중요한 공식이다. 위의 수식을 기체 1개의 질량($m$)에 대한 수식으로 변경하며,

$$\begin{align}v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{mN_A}} = \red{\sqrt{\frac{3kT}{m}}}\end{align}$$

위의 수식에서 $k=R/N_A$ 로 볼쯔만 상수 라고 부른다.(기체상수와 아보가드로 수의 비)

기체 평균 운동 에너지

기체 입자 1개의 평균 속력을 구했으므로 운동 에너지($E_k$)를 구해 보자.

$$\begin{align}E_k = \frac{1}{2}mv_{rms}^2\end{align}$$

위의 두 식을 결합하면 최종 수식을 구할 수 있다.

$$\begin{align}\red{E_k = \frac{3kT}{2}}\end{align}$$

입자의 운동에너지는 온도만의 함수라는 매우 획기적인 수식이다. 기체에 따라 움직임이 빠른 것과 느린 것들이 다양하게 있을 수 있으나, 평균적인 움직임은 온도에만 관련이 있다는 것이다.

자유도

위의 수식은 기체 입자가 $x, y, z$ 세 방향으로 움직일 수 있는 3 개의 자유도를 가진 상황에서 유도가 되었다.

이 자유도를 $x$ 방향으로만 제한하면 $\overline{v^2} = \overline{v_x^2}$ 이므로 $x$ 방향 운동에너지는 아래와 같음을 알 수 있다.

$$\begin{align}E_{k,x} = \frac{kT}{2}\end{align}$$

즉, 입자의 자유도 1개 당 평균 에너지는 $\frac{1}{2}kT$ 이다.