오일러와 바젤 문제

제타함수에 대한 글에서 바젤 문제(Basel Problem)를 언급하고 증명하였다. 오일러(Leonhard Euler)가 처음으로 명성을 날리게 된 계기가 바젤 문제를 처음으로 풀어낸 것인데(1735년), 어떻게 해냈을까? 그의 생각을 따라가 보자.

 

바젤 문제 (Basel Problem)

피에트로 멩골리 (Pietro Mengoli, 1625~1686)이 1644년에 바젤 문제를 제시했고, 1689년에 야콥 베르누이 (Jakob Bernoulli)에 의해 널리 알려지게 되었다고 한다. 그리고 요한 베르누이 (Johann Bernoulli)가 오일러에게 이 문제를 소개했다고 한다(1730년경).

 

 

조화 급수 (Harmonic Series)

1730년경에 오일러는 수열의 보간법에 대해 관심이 있었다. 특히 다음과 같은 조화급수의 부분합에 대한 연구 중이었다.

 

 

그는 기하급수(등비급수, Geometric Series)와 적분을 활용하여 위의 해답을 찾으려고 하였다.

 

 

위의 식은 양의 자연수 n에 대해서 항상 성립한다. 잘은 모르겠지만 자연수가 아닐때는 어떻게 될까? 즉 n = 1/2일 때는? 이에 대해 생각해 보기 위해 오일러는 양변을 모두 적분하였다. 좌변은 다음과 같음을 쉽게 알 수 있다.

 

 

위의 수식은 x = 0이면 0이고 x = 1 이면 n개의 항을 가지는 조화 급수의 합과 같으므로, 다음 수식과 같은 표현이 가능하다.

 

 

위 수식의 적분은 n에 따라 쉽지 않는 계산이다. n = 1/2일 때는 계산이 가능한데, 아래와 같다.

 

 

이 값은 약 0.6137로 n = 1일 때의 값 1보다 작은 값이다.

 

한단계 더 들어가기

오일러는 아래 수식에서 생각을 한단계 더 깊이 들어갔다.

 

 

위의 수식을 한번 더 적분하면 우변이 아래와 같이 됨을 알 수 있다.

 

 

x = 1을 대입하면 바젤문제는 아닌데, 매우 유사한 형태임을 알 수 있다. 오일러는 약간의 변형을 통해 이를 해결 하였다.

 

 

따라서 바젤 문제는 아래의 이중 적분 형태의 수식으로 표현이 가능하다 (n이 무한대로 갈 때).

 

 

위의 적분은 쉽지 않은데, 오일러는 위의 값이 1.644924로 근사했다고 한다. 또한 이 값이 에 가깝다는 것도 알아냈다.

 

오일러는 바젤 문제의 답이 이 값임을 짐작했고, 그 이후로 5년 뒤에 삼각함수에 테일러 시리즈를 활용하여 이 문제를 결국 해결하였다.

 

이 글은 오일러 아카이브에 연재된 How Euler Did It (2003 December)을 읽고 정리한 것이다.