오일러와 감마함수

감마함수에 대해서 앞선 글에서 간단히 다루긴 했지만, 여기서는 오일러가 어떻게 처음으로 감마함수를 생각하게 되었을까에 대해 이야기 해보고자 한다. 참고로 이 글은 오일러 아카이브에 연재된 How Euler Did It (2007 September)을 읽고 정리한 것이다.

 

Interpolation of Sequences (수열의 보간법)

오일러가 1728년에 상트페테르브르크(St. Petersburg)에 갔을 때, 베르누이(Daniel Bernoulli)와 골드바흐(Christian Goldbach)가 수열의 보간법에 대해 연구하고 있었다. 1, 4, 9, 16, ...은 n^2으로 나타낼 수 있는 수열이므로, 이 수열의 보간법은 임의의 실수 x에 대해 x^2임을 쉽게 알 수 있다.

 

그들이 씨름하고 있던 수열은 다음 두가지 였다고 한다.

 

• 팩토리얼, 계승 (Factorial Numbers):
  
  
  
  
• 조화급수의 부분합의 수열:
  
  
  
  

위 두가지 문제에 대해 들은 오일러가 모두 해결을 했는데,  1729년 10월 13일에 골드바트에게 보낸 편지에 그 답을 발표했다. 감마함수라고 부르는 그가 생각한 방법을 알아보자. 팩토리얼을 아래와 같은 무한곱(Infinit Product)으로 생각했다.

 

 

오일러는 위의 식을 무한곱의 수렴성(자세한 것은 나중에 더 알아보기로 하고 여기서는 그냥 받아 들여보자.)을 생각하여 아래와 같이 약간 다르게 변형했다고 한다.

 

 

위의 식에 n = 1, 2, 3 등을 순차적으로 넣어보면 팩토리얼 값과 일치함을 알 수 있다. n에 1/2를 넣어보자. 위의 두 식이 같으므로 첫번째 식을 이용해 보면,

 

 

 

위의 무한곱은 계산이 쉽지는 않는데, 그 당시 22살인 오일러는 답을 알 수 있었다고 한다. 1665년에 John Wallis가 발견(?)한 아래 수식을 알고 있었기 때문이다. Wallis Product로 알려진 이 수식의 유도는 나중에 다루기로 하자.

 

 

따라서 1/2의 팩토리얼은 아래와 같은 값이 됨을 알아내었다. 무한곱에 대한 것이라서 아래 수식이 잘못된 것처럼 느껴지겠지만, 엄밀한 유도를 하면 맞다. 여기서는 전체 흐름만 보자.

 

 

동일하게 1/2 대신에 3/2를 넣어보면 아래 값을 쉽게 구할 수 있다.

 

 

우리가 자연수에 대해서 팩토리얼을 정의하고 1! = 1, 2! = 2 라는 것을 쉽게 안다. 따라서 (3/2)!은 1과 2사이 어떤 값일 것이라고 추측을 했는데, 1.33정도의 값이 나왔다.

 

적분으로의 확장

오일러는 (1/2)!에 pi값이 있는 것을 보고 이것은 면적과 관련이 있고, 따라서 적분과 관련이 있을 수 있다고 생각한 것 같다. 위의 무한곱을 적분 형태로 나타내기 위한 연구를 하였고, 마침내 아래와 같은 수식을 발견(?)하였다.

 

 

위 수식을 치환 적분을 하면 우리가 알고 있는 실수부가 영보다 큰 복소수 영역에서 정의되는 감마함수와 같은 꼴임을 알 수 있다.

 

 

Fractional Derivative (분수차 미분)

오일러는 이 새로운 함수를 이용하여 n차 미분을 확장하여 분수차 미분을 제안하였다. x의 n승 함수의 k차 미분을 생각해보자.

 

• 1차 미분
  
  
  
• 2차 미분
  
  
  
• k차 미분
  
  
  

감마함수를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

 

 

그렇다면 x의 1/2차 미분은 어떤 형태일까?

 

 

감마함수가 무엇이냐는 상세한 수식 보다는 오일러가 어떻게 생각을 확장해가는지를 배울 수 있는 좋은 기회가 된 것 같다.