[CS109] 10 - Gaussian

앞서 배웠던 연속 확률 변수 에서 가장 중요하고 많이 사용하는 것이 정규 확률 변수(Normal Random Variable), 일명 가우시안(Gaussian)이다. 동전 던지기 와 같은 단순한 놀이도 정규 분포로 근사할 수 있기 때문이다.

 

 

1. 주요 성질 (Properties)

 

이산 확률 분포인 이항 확률 변수로 부터 연속 확률 분포인 정규 분포를 유도하는 것은 동전 던지기 를 참고하고, 여기서는 그 정의와 성질에 대해 요약해 보자.

 

 

 

 

 

새로운 확률 변수 Y = aX +b로 정의 된다고 하면(a, b는 상수), Y의 확률 분포 함수는 다음과 같다.

 

 

위와 같은 함수의 적분이 존재하지 않는다. 따라서 표준 정규(Starndard Normal) 확률 변수에 대해 누적 확률분포 함수(Cumulative Distribution Function)을 정의하고, 위의 변환 관계를 이용하여 확률 값을 계산한다.

 

 

2. 표준 정규 분포로의 변환 (Projection to Standard Normal)

 

평균이 0이고 표준편차가 1인 정규 분포를 특별히 표준 정규(Standard Normal) 분포라고 하고 아래와 같이 Z로 나타낸다.

 

 

그리고 위에서 정의했지만, Z의 누적 확률 분포 함수(CDF)는 라고 한다.

 

임의의 정규 확률 변수 X는 모두 표준 정규 확률 변수로 변환이 가능하다.

 

 

 

 

따라서 임의의 정규 확률 변수 X의 누적 확률 변수 값은 아래와 같이 됨을 쉽게 알 수 있다.(위에서 개념적으로 확인한 것과 동일함).

 

 

위의 표준 정규 분포에 대한 CDF는 책에서는 테이블 형태로 주어지거나, 주요 프로그래밍 언어에서 함수로 주어진다.