해석적 확장이란?

#해석적 확장(Analytic Continuation)

실수에서만 또는 특정 조건에서만 정의되는 함수를 복소수로 확장하거나, 그 특정 조건을 완화시키는 방법을 해석적 확장 또는 해석적 접속이라고 한다. 영어로는 Analytic Continuation.

다음 예를 보면 쉽게 이해가 될 것 같다.

위 함수는 z의 절대값이 1보다 작은 실수일 때 수렴한다.

따라서 위와 같은 조건에서 정의되며 등비급수의 공식을 활용하면 간단히 나타낼 수 있다.

그런데 이 두번째 함수는 z = 1이 아닌 정의역에서 모두 값을 가지고, 특별히 z의 절대값이 1보다 작을 때는 첫번째 함수와 똑같아 진다. 이 두번째 함수를 첫번째 함수의 해석적 확장이라고 한다.

해석적 확장을 하는 방법은 다양하게 많을 수 있고, 첫번째 함수를 복소수 영역까지 확장하는 방법이 또 있다.

이 함수는 적분하면 아래와 같이 되고,

z = a + bi라고 하면 아래와 같이 생각하여 a < 1인 조건에서 수렴함을 증명할 수 있다.

따라서 복소수 z의 실수부인 Re(z) = a < 1일 때 정의되는 함수로 확장 되었고, 그 값은 두번째 함수와 동일하다.

해석적 확장의 관점에서 보면 정의역의 크기는 아래와 같이 확장되었다.

왜 이런 일을 하냐에 대해서 내 생각은 이렇다. 해석적 확장을 한 함수가 다루기 쉽다면, 이것을 활용하고 계산을 수행하고, 나중에 그 정의역만 줄여서 결과를 해석하면 되기 때문이다.

#감마 함수(Gamma Function)

해석적 확장의 예를 가장 잘 보여 주는 사례가 감마함수이다. N!은 아래와 같이 정의되며, N은 자연수이다. 

이 계승은 확률을 다룰 때 많이 쓰고, 통계역학을 배울 때 꼭 나오기 때문에, 이를 근사하는 방법까지 꼭 알고 있어야 한다. 이를 스털링 근사라고 한다.

자연수가 아닌 영역까지 이 함수를 확장하고 싶다면 어떻게 해야 할까? 아래와 같은 함수를 정의하자 (감마함수라 불림).

z = 1일 때는 지수함수의 적분으로 값이 1이 됨을 쉽게 알 수 있다.

아래와 같은 미분을 생각할 수 있으므로,

감마 함수를 아래와 같이 전개할 수 있다(부분 적분).

z = 1일 때 1이고, 위의 성질을 가지고 있으므로, z가 자연수 일 때 감마함수는 N! (N의 계승, Factorial)과 동일함을 알 수 있다.

감마함수의 정의역이 어떻게 되는지 알아보기 위해 위 식에 z = a + bi를 넣고 살펴보자.

위의 식에서 Re(z) = a > 0 이면 수렴하고, a = 0일 때는 아래의 값이 수렴하지 않기 때문에 감마 함수 값이 정의되지 않는다.

즉 계승 함수가 자연수의 정의역에서 감마함수를 통해 Re(z) > 0 인 복소수로 확장되었다. 감마함수의 성질에 대해서는 위키피디아를 참고하기 바란다.