확률 분포의 모멘트

확률 분포의 모멘트 (Moment)

확률 분포(Probability Distribution)를 나타내는 척도(Measure)는 크게 4가지가 있다. 평균과 분산은 이미 우리가 많이 알고 있는 것이고, 그 외에 비대칭도(Skewness)와 첨도(Kurtosis)이다.

위 네가지 척도는 다음과 같이 정의된 모멘트(Moment)를 활용하여 계산이 가능하다. n차 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

영(Zero)에 대한 n차 모멘트:

평균에 대한 n차 모멘트:

위의 정의를 활용하여 4가지 척도를 나타내 보자.

• 평균(Mean)은 영에 대한 1차 모멘트:
• 분산(Variance)은 평균에 대한 2차 모멘트:
• 비대칭도(Skewness)는 평균에 대한 3차 모멘트:
• 첨도(Kurtosis)는 평균에 대한 4차 모멘트:

평균에 대한 모멘트는 영(Zero)에 대한 모멘트로 변환이 가능하다.

따라서 영에 대한 n차 모멘트를 쉽게 구할 수 있으면 임의의 확률분포의 4가지 척도를 쉽게 알 수 있게 된다.

 

 

모멘트 생성 함수 (Moment Generating Function)

확률 밀도 함수가 주어졌을 때 n차 모멘트를 구하는 것은 쉽지 않다. 여기에 수학적인 기법 또는 트릭이 쓰이는데, 꼭 익혀 둘 만 하다. 지수함수를 활용한 변환으로 감마함수의 해석적 확장 와 유사한 아이디어 이다.

이산 확률 분포 함수인 경우는

연속 확률 분포 함수인 경우는

모멘트 생성함수를 위와 같이 정의하면, n차 모멘트는 아래와 같은 미분으로 쉽게(?) 계산이 가능하다.

증명을 해보자. 지수함수의 미분 공식을 활용하면 쉽게 가능하다.

또 다른 증명법으로 지수함수를 테일러 급수 전개한 후 미분을 순차적으로 해보면 쉽게 알 수 있다.

포아송 확률 분포에 적용해 보기

포아송 분포 에 대해서는 이전 글에서 정리를 하고 평균과 분산을 구해 보았다. 위에서 언급한 모멘트 생성함수를 활용해서 이 두 값을 다시 구해보자. 먼저 확률분포는 아래와 같은 수식으로 나타낼 수 있다.

이제 모멘트 생성함수를 구해보자.

위 수식에서 뒷부분은 지수함수의 테일러 급수와 동일한 형태이므로 아래와 같이 단순화 할 수 있다.

따라서 아래와 같이 미분에 대한 이해만 있으면 쉽게 평균과 분산을 구할 수 있다.