푸리에(Fourier) 급수 및 변환

푸리에 변환 (Fourier Transform)

소리, 빛 등 세상의 많은 것은 파동이다.
파동의 제대로 아는 것이 필수적이며, 그것을 수학으로 나타내는 방법을 알 필요가 있다.

필요한 수학적 지식

• 삼각함수와 지수함수: 오일러 공식
• 함수의 적분과 직교

푸리에 급수 (Fourier Series)

파동을 연구하는 사람들이 알아낸 중요한 사실이 복잡한 파동은 단순한 파동들이 더해진 것이라는 것이다.

그렇다면 단순한 파동은 무엇인가? 주기와 진폭이 각각 하나의 상수로 정의되고 사인함수의 형태로 나타낼 수 있는 파동이다.

파동에서 진폭은 쉽게 다가오는데, 그 외의 항상 헤깔리는 파동의 기본 개념을 우선 리마인드 해보자.

• 주기(T): 파동이 한번 진동하는데 걸리는 시간 (단위: sec)
• 주파수(f): 1초 동안에 진동하는 파동의 회수 (단위: Hz)
• 각속도(w): 1초 동안에 회전하는 각도 (단위: rad/sec)

너무 당연하겠지만, 위의 세 개념 사이에는 다음 관계가 성립한다.

진폭이 a이고 주기가 T인 단순파동(사인파)는 다음과 같이 각속도를 이용하여 시간의 함수로 나타낼 수 있다.

위의 수식은 삼각함수의 덧셈 정리를 활용하면 sin함수와 cos함수로 나눠서 쓸 수 있다.

주기가 T인 복합파동(임의의 함수 형태)은 단순파동의 합으로 나타낼 수 있다.
즉, 주파수 f=1/T의 정수배인 파동들의 무한합과 같다는 것이다.

주기가 있는 임의의 함수는 위의 수식의 계수들만 잘 선정하며 사인과 코사인 함수들의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 문제는 어떻게 이 계수들을 구할 것인가에 있다.

푸리에 계수

푸리에 계수는 삼각함수의 특성을 활용하면 쉽게 계산할 수 있다. 첫번째는 한 주기를 적분하면 0이 된다는 것이다. 두번째는 직교성이다. 함수의 직교성이란 두함수의 곱을 특정 구간에 대해 적분하였을 때 0이 되는 성질이다.

sin(nwt)*sin(kwt)를 0부터 T(두 단순파의 주기의 공배수)까지 적분하면 k=n일 때를 제외하고는 0이 된다. sin*cos, cos*cos도 마찬가지이다. (직교성)

톱니 모양 파동인 f(t)=t (-pi < t < pi)의 푸리에 계수를 구해 보자.

따라서 f(t) = t는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

n의 최대값을 입력하시오:

푸리에 급수의 복소 표현

오일러 공식(지수함수의 복소 표현 및 삼각함수와의 관계) 을 활용하면 위의 푸리에 급수와 계수를 아래와 같이 간단히 표현할 수 있다.

위의 수식을 조금만 더 음미해 보자. f(t)라는 것은 어떠한 파동이 시간의 함수로 주어진 것이다. 즉 시간(x축)에 복합 파동의 위치(y축)를 나타낸 그래프이다. Cn은 주파수(f)가 2pi*n*w인 단순파동의 진폭(진폭이 되려면 Cn은 복소수이기 때문에 Cn의 절대값)이다. 다시 말해 주파수(x축)에 따른 그 주파수에 해당하는 단순파동의 진폭(y축)의 그래프를 그릴 수 있게 된다.

이런 주파수와 진폭의 그래프는 주파수의 최소 간격이 2pi*w = 1/T인 불연속(Discrete) 형태이다. 위에서 정의했던 f(t)=t (-pi < t < pi)를 주파수와 진폭 도메인으로 나타내 보자.

주기가 없는 파동과 푸리에 변환

주기가 없는 파동은 어떻게 나타낼 수 있을까? 주기가 없는 파동은 주기가 무한대라고 생각할 수 있다. 따라서 위의 수식에서 T를 무한대로 보내면 어떻게 될까를 생각해보자. 주파수의 함수로 나타내기 위해 nw를 fn으로 치환하고 주기를 -T/2 ~ T/2로 변경하있다.

위 두식을 합치고 1/T = df로 바꾸어 정리하면,

위 식을 잘 정리하면 아래와 같은 두 개의 대칭적인 적분식을 뽑아 낼 수 있다.

시간 도메인에서의 파동의 위치가 주어지면(f(t)), 주파수 도메인에서의 진폭의 값을 구할 수 있고(G(f)), 또 이를 다시 변환하여 f(t)를 구할 수 있게 되었다. 이것이 바로 푸리에 변환이다.