조건부 확률과 베이즈 정리

조건부 확률 (Conditional Probability)

임의의 사건 A의 확률은 0과 1사이의 값을 갖는다.

그리고 서로 배반인 사건 A, B에 대해서 A 또는 B가 일어날 확률은 다음과 같다.

두 사건 A, B에 대해서 P(B) > 0일 때, 사건 B가 일어난 조건 하에서 사건 A가 일어나 조건부 확률은 아래와 같이 표현 및 계산할 수 있다.

위의 수식을 약간 변경하면 아래와 같아서, 배반인 아닌 두 사건의 교집합의 확률을 구하는데 사용하기도 한다.

베이즈 정리 (Bayes Theorem)

확률 B는 A와 동시에 일어나거나 그렇지 않거나(A가 일어나지 않을 때 일어나거나) 이므로 아래 수식과 같이 표현될 수 있다.

이제 조건부 확률을 좀 다르게 표현해 보자.

위 수식이 바로 베이즈 정리이다.

예제 (흡연과 폐암)

미국 인구의 0.1%가 폐암이라고 한다. 추가로 조사해 보니 폐암 환자의 90%가 흡연자였고, 폐암이 아닌 사람들의 21%가 흡연자였다. 다음 세가지 질문에 답해 보자.

1. 흡연자의 몇%가 폐암을 가지고 있는가?
2. 비흡연자의 몇%가 폐암을 가지고 있는가?
3. 비흡연자보다 흡연자가 얼마나 더 폐암에 걸릴 확률이 높은가?

흡연자일 사건을 S, 폐암에 걸릴 사건을 L이라고 하자. 위의 조건을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

먼저 위 수식을 통해 다음 3가지 값을 구할 수 있다.

이제 알고 싶은 것은 첫번째로 다음과 같다.

두번째 질문은 아래와 같다.

마지막 질문은 아래와 같아서 흡연하면 폐암에 걸릴 확률이 약 33.7배 더 높다.