하고 싶은 일을 하자

계승이란? 계승(팩토리얼, Factorial)은 1부터 특정 자연수까지 연속되는 자연수를 모두 곱한 것으로 확률에서 경우의 수를 셀 때 나오는 것으로, 확률을 기본으로 하는 연구들에서 많이 나타난다. 그리고 0!은 1로 정의하고, 이 계승의 개념을 실수와 복소수까지 확장시킨 것이 감마함수이다. 임의의 자연수에 대해서 이 계산은 매우 간단하지만, 문제는 N이 조금만 커져도 이 값이 매우 크다는 것이다. 예를 들어 10! = 3,628,800이고, 100! = 9.33262154439441E+157 이다. 따라서 대부분 로그를 활용하여 그 값을 나타내고 근사하여 사용한다. 스털링 근사 1. 단순 버전 (Simple Version) 스털링(Stirling, 1730)이라는 사람이 유용한 근사 공식을 만들었는데..

수학 2020. 3. 29. 08:03

제타함수에 대한 글에서 바젤 문제(Basel Problem)를 언급하고 증명하였다. 오일러(Leonhard Euler)가 처음으로 명성을 날리게 된 계기가 바젤 문제를 처음으로 풀어낸 것인데(1735년), 어떻게 해냈을까? 그의 생각을 따라가 보자. 바젤 문제 (Basel Problem) 피에트로 멩골리 (Pietro Mengoli, 1625~1686)이 1644년에 바젤 문제를 제시했고, 1689년에 야콥 베르누이 (Jakob Bernoulli)에 의해 널리 알려지게 되었다고 한다. 그리고 요한 베르누이 (Johann Bernoulli)가 오일러에게 이 문제를 소개했다고 한다(1730년경). 조화 급수 (Harmonic Series) 1730년경에 오일러는 수열의 보간법에 대해 관심이 있었다. 특히 다..

수학 2019. 10. 6. 17:30

감마함수에 대해서 앞선 글에서 간단히 다루긴 했지만, 여기서는 오일러가 어떻게 처음으로 감마함수를 생각하게 되었을까에 대해 이야기 해보고자 한다. 참고로 이 글은 오일러 아카이브에 연재된 How Euler Did It (2007 September)을 읽고 정리한 것이다. Interpolation of Sequences (수열의 보간법) 오일러가 1728년에 상트페테르브르크(St. Petersburg)에 갔을 때, 베르누이(Daniel Bernoulli)와 골드바흐(Christian Goldbach)가 수열의 보간법에 대해 연구하고 있었다. 1, 4, 9, 16, ...은 n^2으로 나타낼 수 있는 수열이므로, 이 수열의 보간법은 임의의 실수 x에 대해 x^2임을 쉽게 알 수 있다. 그들이 씨름하고 있던 ..

수학 2019. 9. 29. 22:22

컴퓨터 과학에서 확률의 중요성은 갈수록 커지고 있다. 최근 기계학습(Machine Learning)의 인기가 높아지면서 다양한 알고리즘이 개발 및 구현되고 있으며, 그 밑바탕에는 확률 이론이 있다. 많은 확률에 대한 내용 중에서 꼭 배워야 할 필요한 부분만 모은 강좌가 바로 스탠포드 대학교의 CS109 강좌이다. Probability for Computer Scientists 강좌의 주요 내용은 다음과 같다. Counting : 경우의 수 헤아리기 Combinatorics : 조합론 (순열, 조합) Probability : 확률의 기본 (사건공간, 표본공간, 공리, ...) Conditional Probability : 조건부 확률, 베이즈 정리 Independence : 독립, 체인룰, 조건부 독립 R..

수학 2019. 9. 22. 16:24

앞서 배웠던 연속 확률 변수 에서 가장 중요하고 많이 사용하는 것이 정규 확률 변수(Normal Random Variable), 일명 가우시안(Gaussian)이다. 동전 던지기 와 같은 단순한 놀이도 정규 분포로 근사할 수 있기 때문이다. 1. 주요 성질 (Properties) 이산 확률 분포인 이항 확률 변수로 부터 연속 확률 분포인 정규 분포를 유도하는 것은 동전 던지기 를 참고하고, 여기서는 그 정의와 성질에 대해 요약해 보자. 새로운 확률 변수 Y = aX +b로 정의 된다고 하면(a, b는 상수), Y의 확률 분포 함수는 다음과 같다. 위와 같은 함수의 적분이 존재하지 않는다. 따라서 표준 정규(Starndard Normal) 확률 변수에 대해 누적 확률분포 함수(Cumulative Distr..

수학 2019. 8. 25. 12:15

지금까지 본 확률 변수는 이산(Discrete)이었다. 즉 변수로써 정수만 허용되었다. 이제 연속 확률 변수(Continuous Random Variable)에 대해 배워보자. 몸무게, 키, 시간 처럼 변수는 실수값을 가질 수 있다. 1. 이산에서 연속으로 (From Discrete to Continuous) 버스를 기다리는 것을 예로 들어 보자. 오후 2시 15분에 버스 정류장에 도착할 때 5분이하로 기다릴 확률은 얼마인지 알 수 있을깨? 오후 2시부터 2시 30분 사이에 적어도 버스가 1번은 도착한다고 가정하면 버스가 도착하는 시각을 확률로 나타내 보자. 정확히 2시 15분에 버스가 도착할 확률은 얼마일까? 0일 것이다. 하지만 2시 15분과 20분사이에 버스가 도착할 확률은 특정 값을 가지고 있을 ..

수학 2019. 8. 4. 18:03

2의 제곱근(Square Root)를 구하는 내용에 대해 정리하였는데, 임의의 수에 대한 제곱근을 쉽게 구하는 방법에 대해 배워보자. 연분수를 활용할 수도 있는데, 좀 더 간편하고 일반적인 방법이 있다. Babylonian method 바빌로니아 방법에 대해 배워보자. 임의의 자연수 N에 대한 제곱근을 생각해 보자. 위의 수식은 N의 제곱근에 가까운 값을 x_n이라고 하고 그 오차를 입실론으로 정의한 것이다. 오차를 좀 더 구체화 해보자. 오차(입실론)가 작으면 오차의 제곱은 훨씬 더 작을 것이기 때문에 그 값을 무시하면 이제 근사오차값을 이용하여 x_n보다 좀더 근사된 값은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 위의 수식을 이용한 임의의 수 N에 대한 제곱근을 구하는 알고리즘은 다음과 같다. 제곱해서 N보다 ..

수학 2019. 7. 23. 22:32

루트 2 (제곱근 2)의 값은 1.41421356... 이다. 컴퓨터나 스마트폰이 어디나 널려 있는 현재는 누구나 바로 이 값을 쉽게 구할 수 있다. 1보다 크고 2보다 작다는 것은 쉽게 추론할 수 있지만 계산기가 없이 구하는 것은 쉽지는 않다. 참고로 이 값이 무리수라는 것은 귀류법을 활용한 증명의 고전 으로 널리 알려져 있다. 연분수(連分數) 연분수를 활용하여 루트2 값을 계산해 보자. 루트2는 1보다는 크고 2보다는 작기 때문에 아래와 같이 내타낼 수 있다. 위 식을 약간 변형 해보자. 따라서 최종적으로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. 위의 수식은 "내안에 내"가 있는 형태이다. 따라서 아래와 같은 형태도 가능하다. 결론적으로 루트2는 다음과 같은 연분수로 표현이 가능하다. 연분수는 좀더 간단하게..

수학 2019. 7. 20. 15:41