정사영과 직교에 대해

Updated at 2021.4.29

정사영과 직교

이 글을 수학으로 배우는 파동의 법칙 이라는 책을 읽고 정리하였다.

필요한 사전 지식

• 벡터
• 직교좌표계

내적이란?

두 $n$ 차원 벡터 $\vec{A} = (A_1, A_2, \cdots, A_n)$, $\vec{B} = (B_1, B_2, \cdots, B_n)$ 에 대하여 내적의 정의는 다음과 같다.

$$\begin{align}\vec{A} \cdot \vec{B} = A_1 B_1 + A_2 B_2 + \cdots + A_n B_n\end{align}$$

2차원 벡터들에 대해 계산하 보면 두 벡터가 직각으로 교차하면 내적은 언제나 0이 된다. 직각이면 내적이 0이 되니 직각의 정의를 바꾸면 어떨까?

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직각의 새로운 정의: 내적이 영인 두 벡터는 직각이다.

각도의 정의

두 벡터 사이의 각도를 $\theta$ 라고 하고, 두 벡터의 기본 축(기준 벡터)에 대한 각도를 각각 $\alpha, \beta$ 라고 하면, 코사인 덧셈 정리에 의해,

$$\begin{align}\begin{split}\cos \theta &= \cos (\beta-\alpha) \\ &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{split}\end{align}$$

두 개의 2차원 벡터를 2차원 수평면 상에서 기하학적으로 계산해 보면 다음 수식을 유도할 수 있다. 즉, 두 벡터의 사잇각은 두 벡터의 크기($|\vec A |$)와 내적을 알면 구할 수 있다.

$$\begin{align}\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}\end{align}$$

정사영

정사영은 같은 것을 각각 다른 관점으로 보게 해주는 도구라고 할 수 있다.

서로 직각인 $n$ 개의 벡터 $\vec A_1, \vec A_2, \cdots, \vec A_n$ 가 있을때, $n$ 차원 벡터 $\vec B$ 를 $n$ 개의 서로 다른 관점으로 볼 수 있다. 다시 말하면 $\vec B$ 를 $n$ 개의 서로 다른 벡터로 정사영 시킬 수 있다.

$$\begin{align}\vec P_i = \frac{\vec{A_i} \cdot \vec{B}}{\vec{A_i} \cdot \vec{A_i}} \vec A_i\end{align}$$

라고 하면, 아래와 같이 다시 $\vec B$ 를 만들 수 있다.

$$\begin{align}\vec P_1 + \vec P_2 + \cdots + \vec P_n = \vec B\end{align}$$

벡터와 푸리에 급수

푸리에 급수를 참고해 보면 다음과 같은 느낌을 받는다.

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푸리에 급수와 정사영 벡터의 합의 개념이 같다.

파동을 무한개의 서로 직각인 기본 파형으로 나타낼 수 있고, 각각 기본 파형에 정사영된 값(푸리에 계수)을 구하고, 그 값을 기본 파형과 곱하여 무한이 더하면(푸리에 급수) 원래 파동이 된다.

두 백터 내적 = 두 파형을 최소 공배수 주기내에서 적분하기

내적을 적분으로 표현할 수 있다. 기본 벡터가 바로 사인 및 코사인 함수이다. 적분은 무한차원의 벡터의 내적이다.

$$\begin{align}b_i = \frac{\int_0^T{\sin(i\omega t) \cdot f(t) dt}}{\int_0^T{\sin(i\omega t) \cdot \sin(i\omega t) dt}}\end{align}$$

비교,

$$\begin{align}\vec P_i = \frac{\vec{A_i} \cdot \vec{B}}{\vec{A_i} \cdot \vec{A_i}} \vec A_i\end{align}$$

참고로, 하이젠베르크는 벡터를 슈뢰딩거는 파동함수를 써서 양자역학을 나타냈다.