루트 2 값 구하기

루트 2 (제곱근 2)의 값은 1.41421356... 이다. 컴퓨터나 스마트폰이 어디나 널려 있는 현재는 누구나 바로 이 값을 쉽게 구할 수 있다. 1보다 크고 2보다 작다는 것은 쉽게 추론할 수 있지만 계산기가 없이 구하는 것은 쉽지는 않다. 참고로 이 값이 무리수라는 것은 귀류법을 활용한 증명의 고전 으로 널리 알려져 있다.

 

연분수(連分數)

 

연분수를 활용하여 루트2 값을 계산해 보자. 루트2는 1보다는 크고 2보다는 작기 때문에 아래와 같이 내타낼 수 있다.

 

 

위 식을 약간 변형 해보자.

 

 

따라서 최종적으로 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

 

위의 수식은 "내안에 내"가 있는 형태이다. 따라서 아래와 같은 형태도 가능하다.

 

 

결론적으로 루트2는 다음과 같은 연분수로 표현이 가능하다.

 

 

연분수는 좀더 간단하게 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

루트2는 무한연분수로 나타낼 수 있는데, 순환하는 무한연분수이다.

 

루트2의 근사값

 

위의 순환하는 무한 연분수를 처음 몇개항만 선택하여 루트2의 근사값을 구해 보자.

 

 

자세히 보면 n번째와 n+1번째는 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있다.

 

 

그래프로 나타내 보면 아래와 같다. n이 증가하면서 (xn, yn)의 좌표점이 y=sqrt(2)*x의 직선 위아래로 점이 찍히면서 점점 그 오차가 줄어듦을 알 수 있다. 두번재 그래프에서는 n이 4만 되어도 1.414에 급격히 가까워 진다.

 

 

 

 

제곱근을 구하는 좀 더 일반적인 방법에 대해 배워보자.