제곱근 구하기 (바빌로니아 방법)

2의 제곱근(Square Root)를 구하는 내용에 대해 정리하였는데, 임의의 수에 대한 제곱근을 쉽게 구하는 방법에 대해 배워보자. 연분수를 활용할 수도 있는데, 좀 더 간편하고 일반적인 방법이 있다.

 

Babylonian method

 

바빌로니아 방법에 대해 배워보자. 임의의 자연수 N에 대한 제곱근을 생각해 보자.

 

 

위의 수식은 N의 제곱근에 가까운 값을 x_n이라고 하고 그 오차를 입실론으로 정의한 것이다. 오차를 좀 더 구체화 해보자.

 

 

오차(입실론)가 작으면 오차의 제곱은 훨씬 더 작을 것이기 때문에 그 값을 무시하면

 

 

 

이제 근사오차값을 이용하여 x_n보다 좀더 근사된 값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

위의 수식을 이용한 임의의 수 N에 대한 제곱근을 구하는 알고리즘은 다음과 같다.

 

1. 제곱해서 N보다 작지만 가장 가까운 수 x0를 구한다.
2. 그 다음 근사값인 x1을 구한다.(아래 수식 활용)
   
3. 원하는 근사값이 나올 때까지 반복한다.

 

해석적 접근 (Newton-Raphson Method)

 

N의 제곱근을 구하는 것은 아래 방정식의 양의 해를 구하는 것이다.

 

 

따라서 다음 2차 함수의 x절편을 찾는 것이다.

 

 

함수의 x절편을 구하는 수치적인 방법이 있다. 뉴턴-랩슨 방법. 임의의 x0를 선택하고 아래의 수식과 같이 접선을 구하고 이 접선의 x절편을 x1이라고 한다. 이것을 순차적으로 계속한다.

 

 

위의 접선의 x절편을 구하기 위해 y = 0을 대입하고 x1를 구하면,

 

 

 

f(x)를 미분하면 2x이므로

 

 

따라서 최종적으로는 아래와 같고, 위의 바빌로니아 방법과 동일하다.

 

뉴턴-랩슨 방법을 활용하면 제곱근 뿐만 아니라 다른 다양한 방정식의 해를 구할 수 있다. 컴퓨터를 활용한 방정식의 해법을 구하는데 가장 많이 쓰는 방법이다.

 

N:

제곱근을 구하길 원하는 자연수를 입력하세요.