지수의 확장

해석적 확장(Analytic Continuation)에 대한 앞의 글을 보고, 왜 그런 복잡한 확장을 하고자 했을까 궁금했었을 텐데, 우리는 이미 그러한 확장을 너무 당연하게 배웠었다. 수의 범위가 자연수에서 허수까지 넓어지면 새롭게 정의된 개념(함수)도 확장되어야 한다. 그것에 대한 전형적인 예로 지수의 확장에 대해 생각해 보자. 지수란 같은 수를 곱하는 것을 간단히 쓰는 것에서 출발하였는데, 그 개념에 수의 확장과 더불어 어떻게 개념적으로 확장되는지 알아보자.

#지수의 정의

정수 k를 4번 곱하면 k의 4승이라고 하고 아래와 같이 줄여서 쓴다.

k의 n(자연수)승은 쉽게 그 의미가 다가온다. k의 0승은? k를 한 번도 안곱한다? 대부분은 답이 1이라고 다 알고 있겠지만, 왜 그런지에 대해 깊이 고민해 보지 않았을 것이다. 수학은 대응이다. 아래와 같이 2의 n승의 값을 나열해 보자.

2의 2승은 2의 1승에 2를 곱한 것이고, 2의 3승은 2의 2승에 2를 곱한 것이다. 따라서 2의 1승은 2의 0승에 2를 곱한 것으로 생각하는 것이 타당하다. 그렇다면 2의 0승은 1일 수 밖에 없다. 모든 수의 0승은 1이라는 것도 알 수 있다.

유사한 논리로 2의 -1승은 2의 0승인 1을 2로 나눈 값이다. 따라서 정수의 음의 정수 승은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

k의 n승과 k의 m승을 곱하는 것은 k를 n번 곱한 것에 k를 m번 곱한 것의 곱이므로, k를 n+m번 곱한 것과 같다.

k의 n승의 m승은 k를 n번 곱한 것을 m번 곱하는 것이므로, k를 n*m번 곱하는 것과 같다.

#지수의 확장

정수로 정의된 밑과 지수를 각각 유리수, 실수, 복소수로 확장할 수 있다.

먼저 밑을 유리수로 확장해 보자. 밑 k가 유리수라고 하면, k는 a/b와 같은 정수의 비로 나타낼 수 있다.

위 식에서 분모와 분자가 각각 정수 지수승 이므로 계산이 가능하다.

이제 지수를 유리수로 확장하기 위해, k의 1/n승을 생각해 보자.

a의 n승이 k가 된다. 즉 k는 a의 n 제곱근이다. 밑(k)이 양의 유리수이면 계산이 가능하다. k가 음수이고 n이 홀수이면 계산이 가능하지만, n이 짝수이면 현재로서는 답이 없다. (허수까지 확장해야 함)

좀더 일반적으로 유리수 c = a/b라고 하면, 아래와 같이 계산이 가능하다.

유리수에서 실수로 확장하는 것은 "특정 무리수로 수렴하는 유리수열이 있다"는 유리수의 조밀성(Compactness)을 이용하면 된다. 무리수 p로 수렴하는 유리 수열을 다음과 같이 정의하자.

예를 들어 원주율에 대한 유리 수열은 다음과 같다.

그러면 k의 p승은 아래와 같이 정의할 수 있다.

아래 그래프는 네이피어 수 또는 오일러 상수로 불리는 무리수인 e를 밑으로 하는 지수 값을 그래프로 나타낸 것이다.

밑과 지수를 복소수까지 확장하는 것은 오일러 공식이 필요하고, 그것을 통해 삼각함수와 지수함수의 관계가 밝혀진다. 자세한 내용은 여기를 참고하면 된다.

복소수 영역에서의 지수 계산

지수가 복소수이면 위의 수식의 이용하면 되고, 밑이 복소수이면 위의 수식에서 x가 복소수이므로, 아래 수식을 사용하여 로그속의 x를 변환하면 된다.

여기서 , 으로 복소평면에서의 삼각형을 생각하면 된다.