제타 함수란?

수학

by Simple Runner 2018. 11. 5. 23:15

제타함수를 처음 연구한 수학자는 오일러(Euler)다. 그 연구를 이어 받아 정의역을 복소수 영역까지 확장하고, 소수(Prime Number)의 연구까지 진행한 인물이 바로 리만(Riemann) 이다. 최고의 수학자들이 무슨 생각을 했는지 한번 알아보자.

#제타 함수의 정의

제타함수의 정의는 간단하다. 고등학교에서 배운 무한급수를 다시 보는 것 같다.

$\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$ $= \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^s}$

s에 따라 값이 달라진다. s가 1보다 크거나 값으면 수렴할 것 같은데, 값을 계산하기가 쉽지는 않다.

그래도 계산을 해보자. 아래의 그래프는 s=1일 때의 제타함수(파란색)과 1/x를 1부터 10까지(빨간색) 그린 것이다.

다음의 수식이 성립함을 직관적으로 알 수 있다. 제타함수에서 k = 1 ~ N까지의 부분합과 적분과의 관계이다.

$\int_{1}^{N} \frac{dx}{x^s} \leq \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^s} \leq 1 + \int_{1}^{N} \frac{dx}{x^s}$

다항식의 적분은 쉽게 가능하기 때문에 다음과 같이 전개가 가능하다.

$\int_{1}^{N} \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s-1}\left ( 1 - \frac{1}{N^{s-1}} \right )$

s > 1일 때

$N^{s-1} > 1$ 이므로 아래와 같이 수렴한다는 것을 알 수 있다.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} \leq 1 + \frac{1}{s-1}$

s < 1일 때

발산한다는 것은

$\frac{1}{N^{s-1}} = N^{1-s}$

로 이 값이 N무한대일 때 발산하기 사실로 부터 쉽게 유추가 가능하다.

s = 1일 때

위의 수식을 통해 발산한다는 것도 쉽게 알 수 있을 것 같지만, 위의 적분 공식은 s = 1 때는 맞지 않다.

$\zeta(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ $=\infty$

$\int_{1}^{N} \frac{dx}{x} = \ln N$

이기 때문이다.

발산하는 s를 함수의 정의역에서 제외하면, 제타함수는 s > 1인 정의역에서만 정의된다.

#바젤 문제

s > 1일 때 수렴하는 것을 알았지만, 그 값을 구하는 것은 또다른 문제이다. s = 2일 때는 바젤(Basel) 문제라고 불리는데, 오일러가 $\frac{\pi^2}{6}$ 라고 계산(1.64493406685...)하였다. 신기하게도 결과에 파이값이 나타난다. 어떻게 구했을까?

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$

바이어슈트라스 곱의 정리(Weierstrass product theorem)에 따르면 사인함수는 다음과 같다고 한다.

$\sin(x) = x\prod_{k=1}^{\infty} \left ( {1-\frac{x^2}{(\pi k)^2}} \right )$

뜬금없이 사인함수를 이야기 하는지는 나중에 알게되겠지만, 우선 위의 수식을 이해 해보자. sin(x) = 0의 근은 다음과 같다.

$x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \cdots$

위의 근들을 가지는 방정식을 생각해 볼 수 있다.

$x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi) \cdots = 0$

$x(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2) \cdots = 0$

x가 0에 가까이 갈때 sin(x) = x이기 때문에, 극한의 상황을 만족하기 위해서 위 수식을 아래와 같이 변경해 볼 수 있다.

$\sin(x) \sim x\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right) \left(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2}\right)\cdots$

바이어슈트라스 곱의 정리는 수학적으로 엄밀하게 증명된 것이지만, 위의 방식으로 나름 이해하기 쉽게 유도할 수 있다. k가 10일 때까지 사인함수와 위의 값을 비교한 그래프가 아래와 같다.

그리고 사인함수를 다항식으로 표현하는 방법은 테일러 급수로 전개하는 방법이 또 있다.

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

바이어슈트라스 곱의 정리에 따른 사인함수를 전개하여 같은 차수끼리 재정리하면,

$\sin(x) = x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{(\pi k)^2} x^3 + \cdots$

위의 수식과 테일러 급수로 전개한 식을 비교하자. x의 세제곱 항의 계수는 서로 같아야 한다.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{(\pi k)^2}= -\frac{1}{3!}$

#제타함수와 소수

오일러에 의해 제타함수와 소수의 관계에 관한 식이 유도가 되었다. 오일러는 이 수식을 가지고 이리 저리 변형해 보다가 놀라운 사실을 발견하게 된다.

$\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots$

위 수식을 $2^s$ 로 나눠보자.

$\frac{\zeta(s)}{2^s} = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots$

그리고 원래 수식에 이 수식을 빼서 정리하면 아래와 같이 오른쪽 항은 2의 배수가 되는 항은 모두 사라진다.

$\left (1 - \frac{1}{2^s} \right )\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots$

이 수식에 이번에 $3^s$ 로 나눈 후 빼면, 오른쪽 항에서 3의 배수가 되는 항이 모두 사라진다.

$\left (1 - \frac{1}{2^s} \right )\left (1 - \frac{1}{3^s} \right )\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots$

이렇게 계속해서 소수의 s 거듭제곱을 나누어 빼기를 무한히 반복하면 오른쪽은 1만 남게 된다. 따라서 다음과 같은 등식을 만족한다. 여기서 p는 소수임.

$\zeta(s) \prod_{p}^{\infty} {\left (1 - \frac{1}{p^s} \right )} = 1$

$\zeta(s) = \frac{1} {\prod_{p}^{\infty} {\left (1 - \frac{1}{p^s} \right )}} = \prod_{p}^{\infty} \frac{1}{1-p^{-s}}$

s = 2를 넣어 계산하면,

$\prod_{p}^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} = \frac{\pi^2}{6}$

$\prod_{p}^{\infty} \frac{p^2}{p^2-1} = \frac{\pi^2}{6}$ $=\frac{2^2}{2^2-1} \times \frac{3^2}{3^2-1} \times \frac{5^2}{5^2-1} \times \frac{7^2}{7^2-1} \cdots$

위의 수식(오일러 곱셈 공식, Euler Product Formula)으로 부터 제타함수를 제대로 파악할 수 있으면 소수의 규칙도 알 수 있을 것 같다. 리만은 오일러의 연구를 이어 받아 무슨 연구를 더 해 나갔을까?

#제타함수의 확장

지금까지는 제타함수는 s > 1인 실수 구간에서만 정의가 되었다. 해석적 확장(Analytic Continuation)이라고 불리는 작업을 통해 s = 1 아닌 모든 복소수에 대해서 정의되는 함수로 확장해 보자. 해석적 확장이 뭔지는 이 블로그의 글에 간단히 설명해 놨다.

$\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} {\frac{1}{e^t-1} t^{s-1}dt}$

위의 수식에서 감마함수는 아래와 같이 정의된다.

$\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} {e^{-t} t^{s-1}}dt$

해석적 확장된 제타함수에 대한 상세한 사항은 위키피디아를 참고하시길. 이해가 쉽지는 않다. 이 함수를 제대로 파악하면 소수의 개수와의 관계도 구할 수 있다고 하는데, 아직 이해를 못해서 이 글은 여기서 끝맺는다.

참고로, 이 글은 여기에도 동일하게 작성되었다.

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