하고 싶은 일을 하자

지금까지 배운 것을 요약해보면, 확률 변수(Random Variable)를 정의하고 확률 질량 함수(Probability Mass Function)를 구한 후 기대값(Expected Value)과 분산(Variance)을 계산하였다. 그리고 가장 기본이 되는 베르누이 시행과 이항분포에 대해서 배웠다. 이제 포아송 확률 분포에 대해 알아보자. 1. 이항분포의 극한 (Binomial in the Limit) 당신이 카카오 택시 기사라고 하자. 서울 강남에서 카카오택시의 콜 수가 분당 평균 5건일 때, 1분동안 2건의 콜을 받을 확률은 얼마일까? X를 1분 동안 받을 콜 수라고 하면, 우리가 구하고자 하는 것은 다음과 같다. 위의 경우는 1분이 60초이므로 초당 콜이 오는지 안오는지로 생각해 볼 수 있다. 즉..

수학 2019. 7. 14. 23:33

확률 변수(Random Variable)와 확률 질량 함수(Probability Mass Function), 기대값(Expected Value)에 대해 앞장 에서 배웠다. 이제 분산 (Variance)에 대해 다뤄보자. 이 블로그의 다른 글인 이산 확률 분포 도 참고하시길 바란다. 1. 분산 (Variance) 위의 그림에서 3개의 그래프는 x축의 변수를 x라고 하고 그 값들을 1, 2, 3, 4, 5라고 하면, E(X) = 3으로 모두 같다. 하지만 퍼짐(Spread)은 꽤 다르다. 분산은 이 퍼짐 정도를 나타내는 수학 용어이다. 분산의 수학적 정의는 다음과 같다. 즉 평균과의 차이의 제곱의 기대값이다. 위 수식을 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 분산은 다음과 같은 성질을 갖는다. 표준편차(..

수학 2019. 7. 14. 07:12

특정 사건(Event)에 대해 확률을 구하는 방법에 대해 지금까지(확률 계산 ) 배웠다. 이제 한단계 더 나아가 확률 변수(Random Variable, RV)에 대해 배워보자. 유사한 내용이 이 블로그의 다른 글인 이산 확률 분포 에도 있다. 1. 확률 변수 (Random Variable) 예를 들어, 3개의 동전 던지기를 생각해 보자. 우리는 확률 변수 Y를 앞면이 나온 개수로 정의할 수 있다. Y는 0, 1, 2, 3까지 총 4개의 값을 가질 수 있다. P(Y = 0) = 1/8 (T,T,T) P(Y = 1) = 3/8 (H,T,T), (T,H,T), (T,T,H) P(Y = 2) = 3/8 (H,H,T), (H,T,H), (T,H,H) P(Y = 3) = 1/8 (H,H,H) P(Y >= 4) =..

수학 2019. 7. 7. 11:34

지금까지의 CS109 강좌를 복습해 보자. 강사가 어떤 로직을 가지고 강의를 전개해 나가는가? 가장 기본은 사건의 경우의 수를 세는 것이다. 카운팅 이 가장 기본이긴 하지만 사실 쉽지 않다. 문제를 풀다보면 모든 경우의 수를 빠짐 없이 센 것이 맞는가에 대한 의문이 항상 남는다. 카운팅에도 공식이 있다. 가장 많이 활용되는 조합론 에 대해 배웠다. 순열, 조합. 수식으로 표현이 가능하여 향후 지속적으로 사용되는 것을 알게 될 것이다. 카운팅을 어느 정도 소개하였으니 본격적으로 확률 에 대해 이야기 한다. 확률의 정의, 공리 등 기본 중의 기본이다. 가장 중요하다. 조건부 확률에 대해 이야기 한다. 조건부 확률 은 난이도가 있어, 내가 볼 때는 순서상으로 뒤쪽으로 가야 하는데, 앞서 다뤘다. 이 장에서 다..

수학 2019. 6. 30. 14:59

일반적인 확률 보다는 조건부 확률이 일상적으로 많이 쓰인다. 조건부 확률은 전체 샘플(표본) 공간에서 F라는 사건(Event)이 일어났을 때 사건 E가 일어날 확률이다. 아래에 있는 수식들은 천천히 생각해 보면 매우 당연한 것들이어서 굳이 수식으로 나타내야 하냐는 생각이 들 수 있다. 수학은 가장 기본적인 것부터 기호와 수식으로 나타내 볼 수 있어야 한다. 1. 조건부 확률(Conditional Probability) 조건부 확률의 정의 사건 F가 발생한 조건하에서 사건 E의 확률로 아래와 같이 나타낸다. 체인 룰(Chain Rule) 사건 E와 F가 동시에 일어날 확률을 조건부 확률로 나타낼 수 있다. 위의 체인 룰을 일반화 시키면 다음과 같다. 2. 전체 확률의 법칙 (Law of Total Prob..

수학 2019. 6. 22. 16:11

경우의 수 헤아리는 방법들(Counting , Combinatorics )에 대해 복습을 했으니, 이제 본격적으로 확률에 대해 배워보자. 확률 확률에 대해 이야기 하기 전에 우선 사건공간과 표본공간에 대해 알아보자. 재미가 없을 수 있는데, 수학을 할 때 항상 먼저 용어 정의를 한다. 현실에서 사용하는 용어가 아니어서 머리가 복잡해지기 시작하지만, 용어만 익숙해지면 별거 아니라는 생각이 들 것이다. 결국 수식이라는 것도 머리속의 생각이나 논리를 나타내는 방식이기 때문이다. 1. Event Space & Sample Space (사건공간, 표본공간) Sample Space (표본 공간) 어떤 사건에서 발생할 수 있는 모든 결과들의 집합 예) 동전 던지기 동전 두개 던지기 주사위 굴리기 하루 당 배달되는 이..

수학 2019. 6. 1. 11:53

앞장에서 배웠던 경우의 수 헤아리기(Counting )는 확률의 기본중의 기본이다. 이제 좀 더 구체적인 이론을 배워보자. 조합론 (Combinatorics) 순열과 조합에 대해 고등학교에서 배웠을 텐데, 그 기억을 다시 더듬어 보자. 1. Permutations (순열, 順列) 서로 다른 n개의 물건을 순서대로 정렬하기 n!은 n factorial (팩토리얼)이라고 읽는다. 일반적인 n개의 물건을 순서대로 정렬하기 (n개 중에서 n1, n2, ... nr개가 각각 같거나 구별이 불가능 할 때) 예제) MISSISSIPPI라는 단어에 있는 알파벳을 정렬하는 방법은 몇가지인가? 풀이) 전체 글자수는 11개이고, M이 1개, I가 4개, S가 4개, P가 2개이므로 2. Combinations (조합, 組合..

수학 2019. 5. 26. 16:50

최근 스탠포드 대학교의 확률에 대한 인기 강좌(CS109) 를 인터넷을 통해 공부하고 있다. 기본부터 하나씩 정리해보자. 경우의 수 세기 첫 시작은 카운팅이다. 사건의 경우의 수를 헤아리는 것이다. 1. Sum Rule (합의 법칙) 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지 이고, 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수가 없을 때, 사건 A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 m + n 가지이다. 위의 법칙을 수식으로 나타내면 다음과 같다. 2. Product Rule (곱의 법칙) 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지 일이고, 사건 A가 사건 B에 영향을 주지 않을 때, 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m *..

수학 2019. 5. 26. 15:10