[CS109] 3 - Probability

경우의 수 헤아리는 방법들(Counting , Combinatorics )에 대해 복습을 했으니, 이제 본격적으로 확률에 대해 배워보자.

 

확률

확률에 대해 이야기 하기 전에 우선 사건공간과 표본공간에 대해 알아보자.

재미가 없을 수 있는데, 수학을 할 때 항상 먼저 용어 정의를 한다. 현실에서 사용하는 용어가 아니어서 머리가 복잡해지기 시작하지만, 용어만 익숙해지면 별거 아니라는 생각이 들 것이다. 결국 수식이라는 것도 머리속의 생각이나 논리를 나타내는 방식이기 때문이다.

 

1. Event Space & Sample Space (사건공간, 표본공간)

Sample Space (표본 공간)

어떤 사건에서 발생할 수 있는 모든 결과들의 집합

예)

1. 동전 던지기
   
2. 동전 두개 던지기
   
3. 주사위 굴리기
   
4. 하루 당 배달되는 이메일의 수
   
5. 하루에 유튜브에서 보내는 시간
   

Event Space (사건 공간)

의미있는 사건의 집합 (표본 공간의 서브셋)

예)

1. 동전 던져서 앞이 나온 사건
   
2. 동전 두개 던져서 앞이 1개 이상 나온 사건
   
3. 주사위 굴려서 3이하가 나오는 사건
   
4. 하루 당 배달되는 이메일의 수가 20개 이하일 사건들
   
5. 하루에 유튜브에서 5시간 이상 보내는 사건들
   

 

2. Probability (확률)

사건 E가 발생할 확률의 정의는 다음과 같다.

 

위의 수식을 말로 풀어보면, 어떤 실험을 n회의 반복 시행(영어로는 n trials of an experiment)할 때, 사건 E가 일어날 확률은 전체 시행 회수 중에 사건 E가 발생한 시행의 비인데 그 시행을 무한 회수로 할 때이다.

그런데 현실적으로 무한번의 시행을 할 수 있을까? 무한번 해보지 않고 알 수 있지 않을까? 우리는 깊게 고민하지 않아도 그렇다라는 것을 이미 알고 있다. 그것에 대해 수학적으로 이야기 하기 전에 확률의 성질에 대해 알아보자.

 

3. Axioms of Probability (확률의 공리)

확률에 대한 3가지 기본 사실들... 너무 당연한데 왜 이런 기본적인 이야기기부터 시작하는 것일까? 이런 기본적인 것들을 그냥 머리속으로만이 아니라 수식 기호로 나타내보고 그 의미를 음미해보는 것이 나중에 복잡도가 높아갈수록 역으로 그 수식으로부터 의미를 역으로 유추할 때 도움이 되는 것 같다.

1. Axiom 1: 어떤 사건의 확률은 0과 1사이의 값이다.
   
2. Axiom 2: 표본공간의 확률을 1이다.
   
3. Axiom 3: 어떤 사건이 일어나지 않을 확률과 일어날 확률을 합치면 1이다.
   

 

4. Equally Likely Events (동등하게 일어나는 사건들)

동등하게 일어나는 사건이 있을까? 그래서 영어로는 Equally Likely Events라는 용어를 쓰면서, 이 답에 대한 논란을 약간 피해간 것 같다. 동동하게 일어날 것 같은 사건들... 어떤 표본(샘플) 공간은 그런 사건들로 이뤄지는데, 그 공간에서는 확률을 계산하기 쉽다. 즉 무한대로 시행해보지 않아도 된다.

1. 동전 던지기
   
2. 동전 두개 던지기
   
3. 주사위 굴리기
   

 

위의 표본공간의 사건들 처럼 모든 사건이 동동하게 일어나면, 확률의 공리에 따라, 각 사건의 확률은 다음과 같다. 이것도 너무 당연한것 같지만, 그것을 느낌이 아니라 명확한 논리로 유도한 것이라서 의미가 있다.

 

위의 수식에서 |S|는 표본공간의 집합 S의 원소의 개수를 의미한다. 표본 공간내에서 특정 사건들이 일어날 확률은 다음과 같다.

 

위와 같은 정의는 연속표본공간(Continuous Sample Space)에도 적용할 수 있다. 예를 들어 랜덤함수로 0와 1사이의 실수를 생성할 때, 특정 구간내의 실수가 나올 확률은 동일하게 계산할 수 있다. 그런 경우 |E|는 수직선 상에서 E에 해당하는 길이와 같다.